Ao trabalharmos com cargas elétricas, em geral, desconsideramos a interferência da gravidade em nossos trabalhos. Isso ocorre porque as interações gravitacionais acabam sendo quase insignificantes na grande maioria dos processos que tratamos. Vamos mudar as escalas e trabalhar com valores bem diferentes, incorporando concomitantemente força elétrica e gravidade ao nosso problema. Imagine uma esfera metálica, de massa 809348 kg , fixa no solo, com carga 100 kC . Acima desta esfera, a uma distância de 8000 m , desejamos equilibrar uma outra esfera, mais leve e de carga 4 mu C. Contudo, no dia da realização do experimento em questão, os pesquisadores noticiaram a presença de uma nuvem fortemente carregada, a 2000 m de altura em relação à esfera que deveria ser mantida “`equilibrada no ar”. Esta nuvem apresentava uma carga negativa, de valor 30,4 kC, a qual acabaria interferindo diretamente no experimento. Com base nisso, determine qual deve ser a massa da esfera que será equilibrada (em kg), de forma que o experimento não precise de ajustes.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas forças principais atuando na esfera que queremos equilibrar: a força gravitacional (devida à massa da esfera) e as forças elétricas (devido às cargas envolvidas). A matéria principal aqui é Eletrostática e a Lei da Gravitação Universal. Para resolver, precisamos entender como equilibrar essas forças para encontrar a massa da esfera que ficará equilibrada no ar, mesmo com a interferência da nuvem carregada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando na esfera que queremos equilibrar:
  1. Força Gravitacional (Fg): Atua para baixo e é dada por:
Fg = m cdot g
onde m é a massa da esfera e g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 , m/s^2 ).
  1. Forças Elétricas:
    • Força da esfera fixa (Fe₁): Devido à interação entre as cargas das duas esferas.
    • Força da nuvem carregada (Fe₂): Devido à interação entre a carga da nuvem e a esfera que queremos equilibrar.

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas forças elétricas usando a Lei de Coulomb:
Fe = k cdot |Q1 cdot Q2|d^2
onde:
  • k é a constante eletrostática ( 8,988 times 10^9 , N·m²/C² ²²),
  • Q1 e Q2 são as cargas elétricas,
  • d é a distância entre as cargas.

Passo 4

Calculando a força elétrica entre a esfera fixa e a esfera a ser equilibrada ( Fe₁ ):
  • Carga da esfera fixa: Q1 = 100 , kC = 100 times 10^3 , C
  • Carga da esfera a ser equilibrada: Q2 = 4 , muC = 4 times 10^-6 , C
  • Distância: d1 = 8000 , m
Aplicando a fórmula:
Fe₁ = k cdot |Q1 cdot Q2|d1^2 = 8,988 times 10^9 cdot 100 times 10^3 cdot 4 times 10^-6(8000)^2

Passo 5

Calculando a força elétrica entre a nuvem e a esfera a ser equilibrada ( Fe₂ ):
  • Carga da nuvem: Q3 = -30,4 , kC = -30,4 times 10^3 , C
  • Carga da esfera a ser equilibrada: Q2 = 4 times 10^-6 , C
  • Distância: d2 = 2000 , m
Aplicando a fórmula:
Fe₂ = k cdot |Q3 cdot Q2|d2^2 = 8,988 times 10^9 cdot 30,4 times 10^3 cdot 4 times 10^-6(2000)^2

Passo 6

Como a carga da nuvem é negativa e a da esfera a ser equilibrada é positiva, a força Fe₂ será atrativa, ou seja, puxará a esfera para baixo. Já a força Fe₁ , com ambas as cargas positivas, será repulsiva, empurrando a esfera para cima.
Para o equilíbrio, a soma das forças deve ser zero:
Fe₁ - Fe₂ - Fg = 0
Fe₁ - Fe₂ = Fg = m cdot g

Passo 7

Substituindo os valores calculados de Fe₁ e Fe₂ na equação acima, podemos resolver para m :
m = Fe₁ - Fe₂g

Passo 8

Calculando Fe₁ :
Fe₁ = 8,988 times 10^9 cdot 100 times 10^3 cdot 4 times 10^-664 times 10^6 = 8,988 times 10^9 cdot 0,464 times 10^6 = 8,988 times 10^9 cdot 6,25 times 10^-9 = 56,175 , N
Calculando Fe₂ :
Fe₂ = 8,988 times 10^9 cdot 30,4 times 10^3 cdot 4 times 10^-64 times 10^6 = 8,988 times 10^9 cdot 0,12164 times 10^6 = 8,988 times 10^9 cdot 3,04 times 10^-8 = 273,0 , N

Passo 9

Agora, substituindo Fe₁ e Fe₂ na equação de equilíbrio:
m = 56,175 , N - 273,0 , N9,8 , m/s^2 = -216,825 , N9,8 , m/s^2 approx -22,12 , kg

Resposta

A massa da esfera que deve ser equilibrada é aproximadamente -22,12 kg. O valor negativo indica que, para equilibrar as forças presentes, a esfera precisaria ter uma massa oposta, sugerindo que o equilíbrio, nas condições dadas, não é possível sem ajustes adicionais.

Exercícios relacionados