O trabalho consiste em apresentar a solução da seguinte equação diferencial ordinária linear de
ordem:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. A equação que temos é:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Para resolver essa equação, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem, como o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Nossa equação original é:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para facilitar:
Agora, ela está no formato padrão onde:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante,
, é dado por:
Como
, temos:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso simplifica nossa resolução, porque agora podemos integrar ambos os lados com relação a
.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a integral do lado direito é:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos isolar
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 8
Por fim, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
na equação:
Sabendo que
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: