O trabalho consiste em apresentar a solução da seguinte equação diferencial ordinária linear de 1^circ ordem:
-y^prime=y-e^x, y(0)=3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. A equação que temos é:
-y' = y - e^x, y(0) = 3
Aqui, y' representa a derivada de y em relação a x. Para resolver essa equação, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem, como o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
y' + P(x) y = Q(x)
Nossa equação original é:
-y' = y - e^x
Vamos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
y' = -y + e^x
Agora, ela está no formato padrão onde:
P(x) = 1
Q(x) = e^x

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante, mu(x), é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Como P(x) = 1, temos:
mu(x) = e^integral 1 , dx = e^x

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) = e^x:
e^x y' + e^x cdot 1 cdot y = e^x cdot e^x
Simplificando:
e^x y' + e^x y = e^2x

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto mu(x) y. Ou seja:
ddx (e^x y) = e^2x
Isso simplifica nossa resolução, porque agora podemos integrar ambos os lados com relação a x.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
integral ddx (e^x y) , dx = integral e^2x , dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^x y, e a integral do lado direito é:
integral e^2x , dx = 12 e^2x + C
Então, temos:
e^x y = 12 e^2x + C

Passo 7

Agora, vamos isolar y dividindo ambos os lados por e^x:
y = 12 e^2x cdot e^-x + C e^-x
Simplificando:
y = 12 e^x + C e^-x

Passo 8

Por fim, usamos a condição inicial y(0) = 3 para encontrar a constante C. Substituindo x = 0 na equação:
3 = 12 e^0 + C e^0
Sabendo que e^0 = 1:
3 = 12 + C
Resolvendo para C:
C = 3 - 12 = 52

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = 12 e^x + 52 e^-x

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