O trabalho consiste em apresentar a solução da seguinte equação diferencial ordinária linear de 1^circ ordem:
y^prime-2 y-x=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de 1ª ordem
y' - 2y - x = 0,
que é uma equação linear na forma
y' + p(x),y = q(x)
Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão e identificamos
p(x) = -2, q(x) = x
O fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral -2,dx = e^-2x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x):
e^-2xy' - 2e^-2xy = x,e^-2x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y,e^-2x, ou seja
ddxl(y,e^-2xr) = x,e^-2x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^-2x = integral x,e^-2x,dx
Fazendo integração por partes com u=x e dv=e^-2xdx (logo du=dx, v=-tfrac12e^-2x), obtemos
integral x,e^-2xdx = -tfrac12,x,e^-2x + tfrac12integral e^-2xdx = -tfrac12,x,e^-2x - tfrac14,e^-2x + C
Assim
y,e^-2x = -tfrac12,x,e^-2x - tfrac14,e^-2x + C

Passo 5

Para isolar y, multiplicamos por e^2x:
y = -tfrac12,x - tfrac14 + C,e^2x
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

y(x) = C,e^2x ;-;tfrac12,x ;-;tfrac14,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados