O trabalho consiste em apresentar a solução da seguinte equação diferencial ordinária linear de 1^circ ordem:
x y^prime+y=x^2, x>0, y(1)=2.

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO linear de 1ª ordem
x,y' + y = x^2, x>0,
com condição inicial y(1)=2. O conteúdo é equações lineares de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão de EDO linear de 1ª ordem:
y' + 1x,y = x

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral 1x,dx = e^ln x = x

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por mu(x):
x,y' + y = x^2,
cujo lado esquerdo é a derivada de x,y:
ddxl(x,yr) = x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(x,y),dx = integral x^2,dx Longrightarrow x,y = 13x^3 + C

Passo 6

Isolamos y e aplicamos a condição inicial y(1)=2:
y = 13x^2 + C,x^-1,
2 = 13cdot1^2 + Ccdot1^-1 Longrightarrow C = 53

Resposta

y(x) = 13x^2 + 53x^-1

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