O trabalho consiste em apresentar a solução da seguinte equação diferencial ordinária linear de 2^circ ordem:
y^prime prime-4 y^prime+3 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' - 4y' + 3y = 0
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo aqui é a técnica da equação característica para EDOs com coeficientes constantes.

Passo 2

Assumimos solução do tipo y(x)=e^rx. Substituindo na EDO obtemos a equação característica
r^2 - 4r + 3 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
r^2 - 4r + 3 = (r-1)(r-3) = 0
concluímos que as raízes são r1 = 1 e r2 = 3. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^x + C2 e^3x

Passo 4

Para ajustar as constantes C1 e C2, precisamos de y(0)=1 e y'(0)=0. Primeiro calculemos
y(0) = C1 + C2 = 1
Em seguida, derivamos
y'(x) = C1 e^x + 3C2 e^3x,
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y'(0) = C1 + 3C2 = 0

Passo 5

Temos o sistema
C1 + C2 = 1, C1 + 3C2 = 0
Subtraindo a primeira da segunda:
(C1+3C2)-(C1+C2)=0-1Longrightarrow2C2=-1Longrightarrow C2=-tfrac12
Então C1 = 1 - C2 = 1 + tfrac12 = tfrac32.

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x) = tfrac32 e^x - tfrac12 e^3x

Resposta

y(x) = 32e^x - 12e^3x

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