Qual é o trabalho necessário (em
25 pontos keV ) para acelerar um elétron (massa de repouso 511 keV ) de (a) 0,18 c até 0,19 c e (b) de 0,98 c até 0,99 c ? © Por que esses resultados ajudam a sugerir a impossibilidade de um objeto atingir a velocidade da luz? (Dica: lembre que o trabalho realizado em uma partícula livre é a variação da sua energia cinética. Use K=mc^2 (gama-1) e a planilha de excel que disponibilizei na aula 03 para calcular gama facilmente)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho (que em colisões livres relativísticas é a variação da energia cinética) necessário para acelerar um elétron (energia de repouso mc^2=511,keV) de duas faixas de velocidade:
(a) de 0,18c até 0,19c
(b) de 0,98c até 0,99c
E, por fim, © explicar por que esses valores mostram que não dá para chegar a c.
Conteúdo necessário: energia cinética relativística, fator de Lorentz gamma(v)=1raiz1 - v^2/c^2,, e a fórmula
K = mc^2(gamma - 1),,
de onde o trabalho é W = De

Passo 2

Vamos usar a fórmula
W = mc^2(gamma2 - gamma1),,
onde
gammai = 1raiz1 - (vi/c)^2,
Explicando rapidinho:
  • mc^2 é a “energia de repouso” do elétron, aqui 511,keV.
  • gamma cresce à medida que v se aproxima de c, e a energia cinética relativística é mc^2(gamma-1).
  • Para achar o trabalho você subtrai a energia cinética final da inicial, o que vira exatamente mc^2(gamma2-gamma1).

Passo 3

(a) De v1=0,18c para v2=0,19c:
  1. Calcula gamma1 e gamma2: gamma1=1raiz1-0,18^2approx1raiz0,9676approx1,0173, gamma2=1raiz1-0,19^2approx1raiz0,9639approx1,0185
    2) Diferença: De
    3) Trabalho:
    Wa = 511 keVtimes0,0012approx0,61 keV

Passo 4

(b) De v1=0,98c para v2=0,99c:
1)
gamma1=1raiz1-0,98^2approx1raiz0,0396approx5,03,
gamma2=1raiz1-0,99^2approx1raiz0,0199approx7,09
2)
De
  1. Wb = 511 keVtimes2,06approx1052 keVapprox1,05 MeV

Passo 5

© Por que isso mostra que “nunca consigo chegar em c”?
  • Note que, perto de c, gamma cresce MUITO rápido.
  • De 0,18c a 0,19c a gente gastou só uns 0,6,keV, mas de 0,98c a 0,99c já foram mais de 1,MeV.
  • Para chegar exatamente em c, gammatoinfty, logo a energia (e o trabalho) exigida tende a infinito.
  • Conclusão: seria preciso energia infinita para atingir v=c, o que é impossível na prática.

Resposta

(a) 0,61 keV
(b) 1052 keVapprox1,05 MeV
© Porque, à medida que vto c, o fator gammatoinfty e o trabalho necessário diverge, exigindo energia infinita para chegar à velocidade da luz.

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