(Valor: 2,5 ) Mostre que o limite abaixo não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{5 x}{\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{5x}{\sqrt[3]{x^3+y^3}}
não existe.
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e o critério usado será o teste por caminhos distintos: se o limite existe, seu valor deve ser o mesmo ao longo de qualquer reta que passe por (0,0).

Passo 2

Analisemos o caminho y=0. Substituindo temos para (x,0)\to(0,0):
\frac{5x}{\sqrt[3]{x^3+0^3}} =\frac{5x}{\sqrt[3]{x^3}} =\frac{5x}{x} =5.
Logo
\lim_{(x,0)\to(0,0)}\frac{5x}{\sqrt[3]{x^3+y^3}}=5.

Passo 3

Agora o caminho y=x. Substituindo em (x,x)\to(0,0):
\frac{5x}{\sqrt[3]{x^3+x^3}} =\frac{5x}{\sqrt[3]{2x^3}} =\frac{5x}{x\sqrt[3]{2}} =\frac{5}{\sqrt[3]{2}}.
Logo
\lim_{(x,x)\to(0,0)}\frac{5x}{\sqrt[3]{x^3+y^3}} =\frac{5}{\sqrt[3]{2}}.

Passo 4

Os dois limites ao longo de retas diferentes são
5 \quad\text{e}\quad \frac{5}{\sqrt[3]{2}},
que são distintos. Portanto, o limite original não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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