(Valor: 1,0) Determine o domínio e a imagem da função w=\ln \left(36-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio e a imagem da função
w = \ln\bigl(36 - x^{2} - y^{2} - z^{2}\bigr).
O conteúdo envolvido é: domínio do logaritmo em múltiplas variáveis (argumento estritamente positivo) e determinação de imagem via transformação logarítmica.

Passo 2

Para que \ln(\cdot) esteja definido, é preciso
36 - x^{2} - y^{2} - z^{2} > 0.
Reescrevendo, obtemos
x^{2} + y^{2} + z^{2} < 36,
que é exatamente a descrição da bola aberta de raio 6 no espaço \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Dentro dessa bola, defina
t = 36 - (x^{2} + y^{2} + z^{2}).
No centro, em (0,0,0), tem-se t=36. Ao aproximar-se da superfície x^{2}+y^{2}+z^{2}=36, t\to0^{+}. Logo
t\in(0,\,36].

Passo 4

Como w=\ln(t) com t\in(0,36], a função w assume todos os valores de
\lim_{t\to0^{+}}\ln(t) = -\infty \quad\text{até}\quad \ln(36)é
sendo que \ln(36) é atingido em (0,0,0).

Resposta

Domínio: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}<36\}.
Imagem: (-\infty,\;\ln(36)].

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