Traduzir em linguagem matemática, com quantificadores, as frases seguintes, e escrever as negações correspondentes:
o produto de 2 inteiros ímpares é um inteiro par ;

Passo 1

O enunciado pede para traduzir a frase “o produto de 2 inteiros ímpares é um inteiro par” usando lógica de primeiros‐ordem com quantificadores, e depois escrever sua negação. O conteúdo envolvido é teoria de quantificadores e negação de fórmulas do tipo
\forall x\,\bigl(P(x)\implies Q(x)\bigr).

Passo 2

Definimos domínio dos inteiros e as propriedades de “ímpar” e “par” por existência de um inteiro apropriado. A tradução é:
\forall a,b\in\mathbb{Z},\;\bigl((\exists k\in\mathbb{Z},\,a=2k+1)\wedge(\exists m\in\mathbb{Z},\,b=2m+1)\bigr)\implies(\exists n\in\mathbb{Z},\,ab=2n).

Passo 3

Para negar uma afirmação da forma
\forall a,b,\;P(a,b)\implies Q(a,b)
usamos a equivalência
\neg\bigl(\forall a,b,\;P\implies Q\bigr) \equiv \exists a,b,\;P(a,b)\wedge\neg Q(a,b).
Aplicando aqui, obtemos a negação:
\exists a,b\in\mathbb{Z}\quad\Bigl((\exists k\in\mathbb{Z},\,a=2k+1)\wedge(\exists m\in\mathbb{Z},\,b=2m+1)\Bigr)\wedge\neg\bigl(\exists n\in\mathbb{Z},\,ab=2n\bigr).

Passo 4

Podemos simplificar a negação de “ \exists n,\;ab=2n” para “ \forall n,\;ab\neq2n”. Assim a negação completa fica:
\exists a,b\in\mathbb{Z}\;\Bigl((\exists k\in\mathbb{Z},\,a=2k+1)\wedge(\exists m\in\mathbb{Z},\,b=2m+1)\wedge(\forall n\in\mathbb{Z},\,ab\neq2n)\Bigr).

Resposta

Tradução:
\forall a,b\in\mathbb{Z},\;\bigl((\exists k\in\mathbb{Z},\,a=2k+1)\wedge(\exists m\in\mathbb{Z},\,b=2m+1)\bigr)\implies(\exists n\in\mathbb{Z},\,ab=2n).
Negação:
\exists a,b\in\mathbb{Z}\;\Bigl((\exists k\in\mathbb{Z},\,a=2k+1)\wedge(\exists m\in\mathbb{Z},\,b=2m+1)\wedge(\forall n\in\mathbb{Z},\,ab\neq2n)\Bigr).

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