Traduzir em linguagem matemática, com quantificadores, as frases seguintes, e escrever as negações correspondentes:
todo número real inferior a1 verifica a desigualdade \mathrm{x}^{2} \leq \mathrm{x};

Passo 1

O enunciado pede para traduzir em linguagem de lógica de predicados a frase “todo número real inferior a 1 verifica a desigualdade x^{2}\le x” e depois escrever a negação dessa tradução. Vamos usar quantificador universal para “todo” e a implicação para “se … então …”. Para a negação, aplicaremos que \neg(\forall u\,P(u)) equivale a \exists u\,\neg P(u) e que \neg(P\Rightarrow Q) equivale a P\land\neg Q.

Passo 2

A tradução em linguagem matemática com quantificadores fica:
\forall x\in\mathbb{R}\;\bigl(x<1\;\Rightarrow\;x^{2}\le x\bigr).

Passo 3

Negamos a fórmula do passo anterior. Primeiro escrevemos
\neg\Bigl(\forall x\in\mathbb{R}\;(x<1\Rightarrow x^{2}\le x)\Bigr)
e, usando \neg\forall=\exists e \neg(P\Rightarrow Q)=P\land\neg Q, obtemos
\exists x\in\mathbb{R}\;\bigl(x<1\;\land\;\neg(x^{2}\le x)\bigr)
como negação. Simplificando \neg(x^{2}\le x) para x^{2}>x, a forma final é
\exists x\in\mathbb{R}\;\bigl(x<1\;\land\;x^{2}>x\bigr).

Resposta

\displaystyle \forall x\in\mathbb{R}\;(x<1\Rightarrow x^{2}\le x).
\displaystyle \exists x\in\mathbb{R}\;(x<1\land x^{2}>x).

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