Traduzir em linguagem natural as seguintes propriedades, estudar a verdade delas e escrever as negações correspondentes :
\forall \mathrm{x} \in \mathbb{R}, \exists \mathrm{y} \in \mathbb{R}, \mathrm{x} \geq \mathrm{y};

Passo 1

O enunciado apresenta a propriedade
\forall x \in \mathbb{R},\;\exists y \in \mathbb{R}:\;x \ge y
e nos pede para: traduzir em linguagem natural, analisar se é verdadeira e escrever sua negação.

Passo 2

Tradução em linguagem natural:
“Para todo número real x, existe algum número real y tal que x é maior ou igual a y.”

Passo 3

Análise de veracidade:
A sentença é verdadeira, pois, dado qualquer x\in\mathbb{R}, podemos escolher y = x e então sempre vale x \ge x.

Passo 4

Negação da sentença original:
\neg\bigl(\forall x\in\mathbb{R},\,\exists y\in\mathbb{R}:\;x\ge y\bigr) \;\equiv\;\exists x\in\mathbb{R},\,\forall y\in\mathbb{R}:\;x<y.

Resposta

Tradução: “Para todo número real x, existe algum número real y tal que x\ge y.”
Verdadeiro.
Negação: \exists x\in\mathbb{R}\,\forall y\in\mathbb{R}:\;x<y.

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