Traduzir em linguagem natural as seguintes propriedades, estudar a verdade delas e escrever as negações correspondentes :
\forall \mathrm{x} \in \mathbb{R},(\mathrm{x}=-1) \vee(\mathrm{x} \neq 4);

Passo 1

Temos a seguinte afirmação em lógica de predicados sobre os reais:
\forall x \in \mathbb{R},\;(x = -1)\;\vee\;(x \neq 4).
O objetivo é: traduzir essa sentença para a linguagem natural, verificar se ela é verdadeira ou falsa e, por fim, escrever sua negação.

Passo 2

Tradução para a linguagem natural:
“Para todo número real x, ou x é igual a -1 ou x é diferente de 4.”

Passo 3

Estudo da verdade:
– Se escolhermos x=4, então a primeira parte x=-1 é falsa e a segunda parte x\neq4 também é falsa.
– Logo, para x=4 o disjuntor (x=-1)\vee(x\neq4) é falso.
Como basta um contraexemplo para que \forall x falhe, concluímos que a afirmação original é falsa.

Passo 4

Negação da sentença \forall x\in\mathbb{R},\;P(x) é \exists x\in\mathbb{R} tal que \neg P(x). Aqui
P(x)\equiv (x=-1)\vee(x\neq4),
então
\neg P(x)\equiv \neg\bigl((x=-1)\vee(x\neq4)\bigr) \equiv (x\neq -1)\wedge(x=4).
Logo, a negação é
\exists x \in \mathbb{R}\;\bigl(x\neq -1\;\wedge\;x=4\bigr).

Resposta

Tradução: “Para todo número real x, ou x=-1 ou x\neq4.”
Verdade da afirmação: falsa.
Negação:
\exists x \in \mathbb{R}\;\bigl(x\neq -1\;\wedge\;x=4\bigr).

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