Traduzir em linguagem natural as seguintes propriedades, estudar a verdade delas e escrever as negações correspondentes :
\forall \mathrm{x} \in \mathbb{R},\left(\mathrm{x}^{2}=9\right) \Rightarrow(\mathrm{x}=3);

Passo 1

Temos a proposição
\forall x \in \mathbb{R},\;\bigl(x^{2}=9\bigr)\Rightarrow\bigl(x=3\bigr).
O conteúdo envolve quantificador universal, implicação e negação de proposições. Para resolver, vamos traduzir para a linguagem natural, verificar se é verdadeira e então construir sua negação.

Passo 2

Tradução em linguagem natural:
“Para todo número real x, se o quadrado de x é igual a 9, então x é igual a 3.”

Passo 3

Estudo da verdade:
A implicação “ x^{2}=9 implica x=3” falha quando x^{2}=9 é verdadeiro mas x=3 é falso. Tomemos x=-3.
(-3)^{2}=9\quad\text{é verdade, mas}\quad -3\neq3.é
Logo encontramos um contraexemplo, de modo que a proposição universal é falsa.

Passo 4

Negação da proposição original:
A negação de \forall x\in\mathbb{R},\;P(x)\Rightarrow Q(x)
é \exists x\in\mathbb{R} tal que \bigl(P(x)\Rightarrow Q(x)\bigr) é falsa, isto é, \exists x\in\mathbb{R} com P(x) verdadeiro e Q(x) falso.
No nosso caso, P(x) é “ x^2=9” e Q(x) é “ x=3”. A negação fica:
\exists x\in\mathbb{R}\;\bigl(x^{2}=9\;\wedge\;x\neq3\bigr).

Resposta

Tradução: Para todo número real x, se x^{2}=9 então x=3.
Verdade da proposição: falsa (contraexemplo x=-3).
Negação: \exists x\in\mathbb{R} tal que x^{2}=9 e x\neq3.

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