Para as trajetórias encontradas anteriormente, determine a variação de energia cinética entre t=0 e t=T. Esses valores devem ser iguais ou não? Explique o resultado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variação de energia cinética entre t=0 e t=T para duas trajetórias que já foram determinadas anteriormente. O conteúdo é a aplicação do teorema trabalho-energia, que liga a variação de energia cinética ao trabalho das forças atuantes. Para resolver precisamos das velocidades v(0) e v(T) em cada trajetória.

Passo 2

Pelo teorema trabalho-energia, a variação de energia cinética é dada por
De
Ou seja, basta conhecer v(0) e v(T) em cada trajetória.

Passo 3

Em cada trajetória calculamos então v(0)=\dot x(0) e v(T)=\dot x(T). Substituímos essas velocidades na expressão de De para obter o valor numérico correspondente.

Passo 4

Para forças conservativas, o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final — não do caminho. Como a variação de energia cinética iguala esse trabalho, De será o mesmo para quaisquer trajetórias que partam de t=0 com certa v(0) e cheguem em t=T com certa v(T).

Passo 5

Se as duas trajetórias têm exatamente as mesmas velocidades iniciais e finais, então seus De serão iguais. Se elas tiverem v(0) ou v(T) diferentes, seus De serão, em geral, diferentes, pois a energia cinética final ou inicial mudou.

Resposta

De. Esses valores serão iguais entre as trajetórias se e somente se as velocidades iniciais e finais de ambas forem as mesmas, pois para forças conservativas o De (trabalho) depende só dos estados inicial e final, e não do caminho percorrido.

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