Transferência de Calor em Estado Estacionário em Cilindros Infinitos sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \mathrm{~T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}
\mathrm{~L}=5 \mathrm{~m} \mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm}
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine:
A taxa de calor em b;

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de comprimento L=5,m com três zonas em série: no raio interno R_{1}=0{,}10,m há convecção com coeficiente h_{1}=12,W/m²K e temperatura do fluido interior T_{1}=120\,^\circC; do raio R_{1} a R_{2}=0{,}20,m há um tubo metálico com condutividade térmica k=14,W/mK; do raio R_{2} a R_{3}=0{,}25,m há um revestimento isolante com k_{1}=0{,}05,W/mK; e no raio externo R_{3} há convecção com h_{2}=5,W/m²K e temperatura ambiente T_{2}=25\,^\circC. Vamos usar o modelo de resistências térmicas em série, pois o regime é estacionário e não há geração interna.

Passo 2

A taxa de calor \dot Q é dada por
\dot Q \;=\;\frac{T_{1}-T_{2}}{R_{\text{tot}}},
onde a resistência total em série é
R_{\text{tot}} =R_{\text{conv},1} +R_{\text{cond},\,\text{metal}} +R_{\text{cond},\,\text{iso}} +R_{\text{conv},2}.

Passo 3

Calculamos cada resistência:
- Convecção interna:
R_{\text{conv},1} =\frac{1}{h_{1}\,2\pi R_{1}L} =\frac{1}{12\,\cdot2\pi\cdot0{,}10\cdot5} \approx0{,}02652\;\text{K/W}.
- Condução no metal ( R_{1}\to R_{2}):
R_{\text{cond},\,\text{metal}} =\frac{\ln\bigl(R_{2}/R_{1}\bigr)}{2\pi k L} =\frac{\ln(0{,}20/0{,}10)}{2\pi\cdot14\cdot5} \approx0{,}001576\;\text{K/W}.
- Condução no isolante ( R_{2}\to R_{3}):
R_{\text{cond},\,\text{iso}} =\frac{\ln\bigl(R_{3}/R_{2}\bigr)}{2\pi k_{1} L} =\frac{\ln(0{,}25/0{,}20)}{2\pi\cdot0{,}05\cdot5} \approx0{,}14209\;\text{K/W}.
- Convecção externa:
R_{\text{conv},2} =\frac{1}{h_{2}\,2\pi R_{3}L} =\frac{1}{5\,\cdot2\pi\cdot0{,}25\cdot5} \approx0{,}02548\;\text{K/W}.
Somando:
R_{\text{tot}} \approx0{,}02652+0{,}001576+0{,}14209+0{,}02548 =0{,}19566\;\text{K/W}.

Passo 4

A diferença de temperatura é
\Delta T = T_{1}-T_{2}=120-25=95\;\text{K}.

Passo 5

Finalmente, a taxa de calor é
\dot Q =\frac{\Delta T}{R_{\text{tot}}} =\frac{95}{0{,}19566} \approx485{,}6\;\text{W}.

Resposta

A taxa de calor é \dot Q\approx4,86\times10^{2} W.

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