Transferência de Calor em Estado Estacionário em Cilindros Infinitos sem Geração
Condições operacionais:
\mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{1}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K} \mathrm{~T}_{2}=25^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{h}_{2}=5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}
\mathrm{~L}=5 \mathrm{~m} \mathrm{R}_{1}=10 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{2}=20 \mathrm{~cm} \mathrm{R}_{3}=25 \mathrm{~cm}
\mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} \mathrm{k}_{1}=0,05 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}
Determine:
A taxa de calor em a;

Passo 1

O enunciado trata de um cilindro cilíndrico infinito com três camadas: do raio interno R_{1} até R_{2} o material tem condutividade térmica k, de R_{2} até R_{3} há isolamento com condutividade k_{1}, e nas faces interna ( r=R_{1}) e externa ( r=R_{3}) ocorrem convecção para fluidos a T_{1}=120^\circ\text{C} com coeficiente h_{1}=12 e a T_{2}=25^\circ\text{C} com coeficiente h_{2}=5. Comprimento do cilindro L=5,m. Vamos calcular a taxa de calor em regime estacionário sem geração, usando o método de resistências térmicas em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em regime estacionário a taxa de calor q satisfaz
q \;=\;\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}
onde \Delta T = T_{1}-T_{2} e
R_{\text{total}} =R_{\text{conv,1}} +R_{\text{cond,1}} +R_{\text{cond,2}} +R_{\text{conv,2}}.
As resistências são:
R_{\text{conv,1}}=\frac{1}{h_{1}\,A_{1}},\quad A_{1}=2\pi R_{1}L,
R_{\text{cond,1}}=\frac{\ln\bigl(R_{2}/R_{1}\bigr)}{2\pi\,k\,L},
R_{\text{cond,2}}=\frac{\ln\bigl(R_{3}/R_{2}\bigr)}{2\pi\,k_{1}\,L},
R_{\text{conv,2}}=\frac{1}{h_{2}\,A_{3}},\quad A_{3}=2\pi R_{3}L.

Passo 3

Calculemos as áreas e as resistências de convecção:
R_{1}=0{,}10,m, R_{3}=0{,}25,m, L=5,m.
A_{1}=2\pi\,(0{,}10)\,(5)=\pi\\ (\text{m}^{2}), \quad A_{3}=2\pi\,(0{,}25)\,(5)=2{,}5\pi\\ (\text{m}^{2}).
R_{\text{conv,1}} =\frac{1}{12\,\pi} \approx0{,}02653\\ \text{K/W}, \quad R_{\text{conv,2}} =\frac{1}{5\,\bigl(2{,}5\pi\bigr)} =\frac{1}{12{,}5\pi} \approx0{,}02546\\ \text{K/W}.

Passo 4

Agora as resistências de condução:
k=14,W/mK, k_{1}=0{,}05,W/mK, R_{2}=0{,}20,m.
R_{\text{cond,1}} =\frac{\ln(0{,}20/0{,}10)}{2\pi\,(14)\,(5)} =\frac{\ln2}{2\pi\cdot70} \approx0{,}001576\\ \text{K/W},
R_{\text{cond,2}} =\frac{\ln(0{,}25/0{,}20)}{2\pi\,(0{,}05)\,(5)} =\frac{\ln1{,}25}{2\pi\cdot0{,}25} \approx0{,}1421\\ \text{K/W}.

Passo 5

Somando todas as resistências:
R_{\text{total}} =0{,}02653+0{,}001576+0{,}1421+0{,}02546 \approx0{,}19566\\ \text{K/W}.
A diferença de temperatura é
\Delta T=120-25=95,K, portanto
q=\frac{95}{0{,}19566} \approx485{,}6\\ \text{W}.

Resposta

A taxa de calor é aproximadamente 4,86\times10^{2},W.

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