A transferência de calor de uma fonte quente para uma fonte fria é um processo espontâneo. Prove matematicamente e justifique esta afirmativa usando a desigualdade de Clausius \Delta S \geq \int \frac{d q}{T}.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar matematicamente e justificar que “a transferência de calor de uma fonte quente para uma fonte fria é um processo espontâneo”, usando a desigualdade de Clausius \Delta S \geq \int \frac{d q}{T}.
Informações relevantes dadas (resumidas, claras):
  • A desigualdade de Clausius: \Delta S \geq \int \frac{d q}{T}.
  • Temos duas fontes (reservatórios) térmicos: uma quente e outra fria. Vou chamar suas temperaturas de \,T_h (quente) e \,T_c (fria).
  • Assume-se \,T_h > T_c.
  • Quero mostrar que, se uma quantidade de calor \,Q passa espontaneamente da fonte quente para a fria, isso é compatível com a segunda lei (i.e., aumenta a entropia total do sistema isolado formado pelas duas fontes). Também mostrar que o fluxo na direção oposta diminuiria a entropia total e, portanto, não é espontâneo.

Passo 2

Conceitos essenciais que vamos usar (explicados devagar):
  • Entropia \,S é uma função de estado termodinâmica. Para uma transformação entre dois estados de um sistema, a desigualdade de Clausius diz que
\Delta S \ge \int \frac{d q}{T},
onde d q é o calor trocado pelo sistema com o exterior e T é a temperatura do ponto de contato (no integral, é a temperatura no lugar onde o calor entra/sai).
  • Para um reservatório grande que permanece praticamente em equilíbrio e com temperatura praticamente constante \,T_{\text{res}}, a variação de entropia associada à troca de uma quantidade finita de calor Q é simplesmente
\Delta S_{\text{res}} = \frac{Q}{T_{\text{res}}},
porque podemos imaginar esse calor sendo entrado/saído por um processo quase reversível interno do reservatório (ou tomar \int d q/T = Q/T_{\text{res}} já que T_{\text{res}} é constante).
  • Um sistema isolado não troca calor nem trabalho com o exterior; para o conjunto isolado, a segunda lei exige que a entropia total não diminua: \Delta S_{\text{total}} \ge 0. Um processo espontâneo em um isolado ocorre quando \Delta S_{\text{total}}>0. Igualdade ocorre se o processo for reversível.

Passo 3

Definição do sistema que vamos analisar:
  • Tomamos o sistema isolado composto unicamente pelos dois reservatórios (fonte quente e fonte fria). Não há trocas com o exterior.
  • Convecção/condutividade/qualquer mecanismo microscópico importa pouco aqui; o que importa é que uma quantidade Q de calor sai do reservatório quente e entra no reservatório frio.
  • Convenção de sinal: vou tomar Q>0 como a quantidade de calor que sai do quente e entra no frio (ou seja, o quente perde Q e o frio ganha Q).

Passo 4

Aplicando a fórmula da entropia para cada reservatório (com explicação passo a passo):
  • Reservatório quente: como ele perde calor Q, sua variação de entropia é
\Delta S_h = -\frac{Q}{T_h}.
Explicação: o reservatório quente teve energia interna reduzida em Q; com temperatura praticamente constante \,T_h, \Delta S_h = \dfrac{\text{calor recebido}}{T_h} = \dfrac{-Q}{T_h}.
  • Reservatório frio: como ele ganha calor Q, sua variação de entropia é
\Delta S_c = +\frac{Q}{T_c}.
Explicação: de maneira análoga, o reservatório frio recebe calor Q a temperatura \,T_c praticamente constante, logo \Delta S_c = Q/T_c.
Observação didática: usamos aqui o fato de que cada reservatório é grande e fica essencialmente em equilíbrio com temperatura fixa. Nessas condições a variação de entropia é dada por \int d q/T = Q/T.

Passo 5

Cálculo da variação total de entropia do sistema isolado (as duas fontes juntas):
  • Somando as duas variações:
\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_h + \Delta S_c = -\frac{Q}{T_h} + \frac{Q}{T_c}.
  • Factorando Q:
\Delta S_{\text{total}} = Q\!\left(\frac{1}{T_c} - \frac{1}{T_h}\right).

Passo 6

Análise do sinal de \Delta S_{\text{total}} e conclusão sobre espontaneidade:
  • Como assumimos \,T_h > T_c, então 1/T_c - 1/T_h > 0. Portanto, se Q>0 (calor vai do quente para o frio),
\Delta S_{\text{total}} = Q\!\left(\frac{1}{T_c} - \frac{1}{T_h}\right) > 0.
  • Conclusão: a transferência de calor do quente para o frio aumenta a entropia total do sistema isolado; pela segunda lei (Clausius), esse aumento de entropia indica que o processo pode ocorrer espontaneamente.
  • Se, por outro lado, o calor tentasse fluir espontaneamente do frio para o quente (isto é, tomaríamos Q>0 como calor que sai do frio e entra no quente), a variação total seria
\Delta S_{\text{total}} = Q\!\left(\frac{1}{T_h} - \frac{1}{T_c}\right) = -Q\!\left(\frac{1}{T_c} - \frac{1}{T_h}\right) < 0,
porque agora os papéis se invertem; esse \Delta S_{\text{total}}<0 violaria a desigualdade \Delta S_{\text{total}}\ge0 para um sistema isolado, então tal transferência não pode ocorrer espontaneamente.

Passo 7

Interpretação física e comentário final (didático e motivador):
  • Física intuitiva: quando calor vai do quente para o frio, a energia microestados do conjunto fica mais “distribuída” e a entropia aumenta — isso é o que a conta acima formaliza.
  • Caso limite: se T_h = T_c (mesma temperatura), então 1/T_c - 1/T_h = 0 e \Delta S_{\text{total}}=0 para qualquer troca infinitesimal de calor — isso corresponde ao equilíbrio térmico, sem fluxo espontâneo.
  • Exemplo numérico rápido para fixar: se T_h=400 K e T_c=300 K e Q=100 J fluem do quente para o frio, então
\Delta S_{\text{total}} = 100\!\left(\frac{1}{300}-\frac{1}{400}\right)=100\!\left(\frac{4-3}{1200}\right)=\frac{100}{1200}=\frac{1}{12}\,\text{J/K}\approx0{,}0833\,\text{J/K}>0.
Isso mostra concretamente que a entropia total aumentou, então o processo é espontâneo.

Resposta

\Delta S_{\text{total}}=Q\!\left(\dfrac{1}{T_c}-\dfrac{1}{T_h}\right)>0 para T_h>T_c (quando Q>0, calor do quente para o frio), logo a transferência de calor do quente para o frio é espontânea.

Exercícios relacionados