A transferência de calor de uma fonte quente para uma fonte fria é um processo espontâneo. Prove matematicamente e justifique esta afirmativa usando a desigualdade de Clausius
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Passo 1
O que o enunciado pede: provar matematicamente e justificar que “a transferência de calor de uma fonte quente para uma fonte fria é um processo espontâneo”, usando a desigualdade de Clausius
.
Informações relevantes dadas (resumidas, claras):
- A desigualdade de Clausius:
. - Temos duas fontes (reservatórios) térmicos: uma quente e outra fria. Vou chamar suas temperaturas de
(quente) e (fria). - Assume-se
. - Quero mostrar que, se uma quantidade de calor
passa espontaneamente da fonte quente para a fria, isso é compatível com a segunda lei (i.e., aumenta a entropia total do sistema isolado formado pelas duas fontes). Também mostrar que o fluxo na direção oposta diminuiria a entropia total e, portanto, não é espontâneo.
Passo 2
Conceitos essenciais que vamos usar (explicados devagar):
- Entropia
é uma função de estado termodinâmica. Para uma transformação entre dois estados de um sistema, a desigualdade de Clausius diz que
onde
é o calor trocado pelo sistema com o exterior e
é a temperatura do ponto de contato (no integral, é a temperatura no lugar onde o calor entra/sai).
- Para um reservatório grande que permanece praticamente em equilíbrio e com temperatura praticamente constante
, a variação de entropia associada à troca de uma quantidade finita de calor é simplesmente
porque podemos imaginar esse calor sendo entrado/saído por um processo quase reversível interno do reservatório (ou tomar
já que
é constante).
- Um sistema isolado não troca calor nem trabalho com o exterior; para o conjunto isolado, a segunda lei exige que a entropia total não diminua:
. Um processo espontâneo em um isolado ocorre quando . Igualdade ocorre se o processo for reversível.
Passo 3
Definição do sistema que vamos analisar:
- Tomamos o sistema isolado composto unicamente pelos dois reservatórios (fonte quente e fonte fria). Não há trocas com o exterior.
- Convecção/condutividade/qualquer mecanismo microscópico importa pouco aqui; o que importa é que uma quantidade
de calor sai do reservatório quente e entra no reservatório frio. - Convenção de sinal: vou tomar
como a quantidade de calor que sai do quente e entra no frio (ou seja, o quente perde e o frio ganha ).
Passo 4
Aplicando a fórmula da entropia para cada reservatório (com explicação passo a passo):
- Reservatório quente: como ele perde calor
, sua variação de entropia é
Explicação: o reservatório quente teve energia interna reduzida em
; com temperatura praticamente constante
,
.
- Reservatório frio: como ele ganha calor
, sua variação de entropia é
Explicação: de maneira análoga, o reservatório frio recebe calor
a temperatura
praticamente constante, logo
.
Observação didática: usamos aqui o fato de que cada reservatório é grande e fica essencialmente em equilíbrio com temperatura fixa. Nessas condições a variação de entropia é dada por
.
Passo 5
Cálculo da variação total de entropia do sistema isolado (as duas fontes juntas):
- Somando as duas variações:
- Factorando
:
Passo 6
Análise do sinal de
e conclusão sobre espontaneidade:
- Como assumimos
, então . Portanto, se (calor vai do quente para o frio),
- Conclusão: a transferência de calor do quente para o frio aumenta a entropia total do sistema isolado; pela segunda lei (Clausius), esse aumento de entropia indica que o processo pode ocorrer espontaneamente.
- Se, por outro lado, o calor tentasse fluir espontaneamente do frio para o quente (isto é, tomaríamos
como calor que sai do frio e entra no quente), a variação total seria
porque agora os papéis se invertem; esse
violaria a desigualdade
para um sistema isolado, então tal transferência não pode ocorrer espontaneamente.
Passo 7
Interpretação física e comentário final (didático e motivador):
- Física intuitiva: quando calor vai do quente para o frio, a energia microestados do conjunto fica mais “distribuída” e a entropia aumenta — isso é o que a conta acima formaliza.
- Caso limite: se
(mesma temperatura), então e para qualquer troca infinitesimal de calor — isso corresponde ao equilíbrio térmico, sem fluxo espontâneo. - Exemplo numérico rápido para fixar: se
K e K e J fluem do quente para o frio, então
Isso mostra concretamente que a entropia total aumentou, então o processo é espontâneo.