Quais das transformações abaixo são lineares?
Passo 1
O enunciado dá a transformação
e pede para verificar se ela é linear. Para isso, precisamos checar duas propriedades para quaisquer matrizes
e qualquer escalar
:
-
(aditividade) -
(homogeneidade)
Passo 2
Verificação da aditividade:
Sejam
Sejam
Então
Reagrupando os termos, isso é
Passo 3
Verificação da homogeneidade:
Para ,
Para
Passo 4
Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) ficam satisfeitas, concluímos que
é de fato uma transformação linear.
Resposta
A transformação
é linear.