Quais das transformações abaixo são lineares?

Passo 1

O enunciado dá a transformação
T: M2times2(R) to R^3, T(A) = l(A11-A12,;A21+A22,;2A11-A21r)
e pede para verificar se ela é linear. Para isso, precisamos checar duas propriedades para quaisquer matrizes A,Bin M2times2(R) e qualquer escalar cinR:
  1. T(A+B)=T(A)+T(B) (aditividade)
  2. T(cA)=c,T(A) (homogeneidade)

Passo 2

Verificação da aditividade:
Sejam
Então
Reagrupando os termos, isso é

Passo 3

Verificação da homogeneidade:
Para cinR,
T(cA) =l(cA11-cA12,;cA21+cA22,;2cA11-cA21r) = c,(A11-A12,,A21+A22,,2A11-A21) = c,T(A)

Passo 4

Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) ficam satisfeitas, concluímos que T é de fato uma transformação linear.

Resposta

A transformação T é linear.

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