Quais das transformações abaixo são lineares?
T: M2 times 2(R) longrightarrow R^3, T(A)=(A11-A12, A21+ A22, 2 A11-A21)

Passo 1

O enunciado dá a transformação
Tcolon M2times2(R)toR^3
definida por
T(A)=l(A11-A12,;A21+A22,;2A11-A21r)
Queremos verificar se T é linear, isto é, se preserva soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação da aditividade: sejam A,Bin M2times2(R). Então
T(A+B) =l((A+B)11-(A+B)12,;(A+B)21+(A+B)22,;2(A+B)11-(A+B)21r)
Como (A+B)ij=Aij+Bij, cada componente fica
(A11+B11)-(A12+B12) =(A11-A12)+(B11-B12),
(A21+B21)+(A22+B22) =(A21+A22)+(B21+B22),
2(A11+B11)-(A21+B21) =(2A11-A21)+(2B11-B21)
Logo
T(A+B)=T(A)+T(B)

Passo 3

Verificação da homogeneidade: seja lambdainR e Ain M2times2(R). Então
T(lambda A) =l((lambda A)11-(lambda A)12,;(lambda A)21+(lambda A)22,;2(lambda A)11-(lambda A)21r)
Como (lambda A)ij=lambda Aij, cada componente é
lambda A11-lambda A12=lambda(A11-A12),
lambda A21+lambda A22=lambda(A21+A22),
2lambda A11-lambda A21=lambda(2A11-A21)
Portanto
T(lambda A)=lambda,T(A)

Resposta

A transformação T dada é linear.

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