Quais das transformações abaixo são lineares?
T: M2 times 2(R) longrightarrow M2 times 2(R), T(A) =[ll1 & 1 0 & 1] A[ll2 & 0 1 & 1]

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação
T: M2 times 2(R) longrightarrow M2 times 2(R),
definida por
T(A)=1&10&1 A 2&01&1
O conteúdo da matéria é Transformações Lineares em espaços de matrizes, e precisamos verificar se T preserva soma e multiplicação por escalar (ou seja, se é aditiva e homogênea).

Passo 2

Verificamos a aditividade. Para A,Bin M2times2(R),
T(A+B) =1&10&1(A+B)2&01&1
Como a multiplicação de matrizes é distributiva em relação à soma,
1&10&1(A+B) =1&10&1A +1&10&1B
e, ao multiplicar pela direita pelo mesmo fator, obtemos
T(A+B) =1&10&1A2&01&1 +1&10&1B2&01&1 =T(A)+T(B)

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Para lambdainR e Ain M2times2(R),
T(lambda A) =1&10&1(lambda A)2&01&1
Como escalar pode sair na frente na multiplicação de matrizes,
T(lambda A) =lambda1&10&1A2&01&1 =lambda,T(A)

Resposta

A transformação
T(A)=1&10&1 A 2&01&1
é linear, pois satisfaz aditividade e homogeneidade.

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