A transformada de Laplace é definida por:
Calcule as transformadas de Laplace abaixo:
;
Passo 1
O que o exercício pede: calcular a transformada de Laplace da função constante
, ou seja encontrar
.
Informações dadas pelo enunciado:
Aqui
para
. Não há outras condições no enunciado, mas ao calcular a integral imprópria teremos que verificar para quais valores de
a integral converge.
Passo 2
Escrevendo explicitamente a integral que define a transformada para
:
Isto é uma integral imprópria; para calculá‑la, primeiro considere o integral definido até um limite finito
e depois passe para o limite
:
Passo 3
Vamos achar a primitiva (antiderivada) de
em relação a
. Trataremos
como uma constante durante a integração (porque a integral é em
).
Uma forma de ver é usar substituição: ponha
. Então
, ou seja
. Assim
Voltando para
(pois
):
Observação importante: essa antiderivada só é válida para
(porque dividimos por
). Para
a integral seria
que diverge quando o limite vai a
.
Passo 4
Agora aplicamos a antiderivada nos limites
e
e depois fazemos
:
Agora tomamos o limite
. Precisamos analisar
.
- Se
for real e positivo ( ), então quando . - Mais geralmente, se
for complexo, a condição necessária e suficiente para é que a parte real de seja positiva, isto é .
Portanto, para
obtemos
Se
, a integral diverge (não converge).
Passo 5
Concluímos que a transformada de Laplace da função constante
existe e é dada por
quando
. Essa é a resposta que você deve memorizar para usar em provas: a constante transforma em
, com região de convergência
.