A transformada de Laplace é definida por:
\mathcal{L}\lbrace f(t)\rbrace=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t) d t
Calcule as transformadas de Laplace abaixo:
\mathcal{L}\lbrace1\};

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a transformada de Laplace da função constante f(t)=1, ou seja encontrar \mathcal{L}\{1\}.
Informações dadas pelo enunciado:
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt.
Aqui f(t)=1 para t\ge 0. Não há outras condições no enunciado, mas ao calcular a integral imprópria teremos que verificar para quais valores de s a integral converge.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a integral que define a transformada para f(t)=1:
\mathcal{L}\{1\}=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cdot 1\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Isto é uma integral imprópria; para calculá‑la, primeiro considere o integral definido até um limite finito A>0 e depois passe para o limite A\to\infty:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt=\lim_{A\to\infty}\int_{0}^{A} e^{-s t}\,dt.

Passo 3

Vamos achar a primitiva (antiderivada) de e^{-s t} em relação a t. Trataremos s como uma constante durante a integração (porque a integral é em t).
Uma forma de ver é usar substituição: ponha u=-s t. Então du=-s\,dt, ou seja dt=-\dfrac{du}{s}. Assim
\int e^{-s t}\,dt=\int e^{u}\left(-\dfrac{du}{s}\right)=-\dfrac{1}{s}\int e^{u}\,du=-\dfrac{1}{s}e^{u}+C.
Voltando para t (pois u=-st):
\int e^{-s t}\,dt=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}+C.
Observação importante: essa antiderivada só é válida para s\neq 0 (porque dividimos por s). Para s=0 a integral seria \int 1\,dt que diverge quando o limite vai a \infty.

Passo 4

Agora aplicamos a antiderivada nos limites 0 e A e depois fazemos A\to\infty:
\int_{0}^{A} e^{-s t}\,dt=\left[-\dfrac{1}{s}e^{-s t}\right]_{t=0}^{t=A}=-\dfrac{1}{s}e^{-s A}-\left(-\dfrac{1}{s}e^{0}\right)=-\dfrac{1}{s}e^{-s A}+\dfrac{1}{s}.
Agora tomamos o limite A\to\infty. Precisamos analisar \lim_{A\to\infty} e^{-s A}.
  • Se s for real e positivo ( s>0), então e^{-s A}\to 0 quando A\to\infty.
  • Mais geralmente, se s for complexo, a condição necessária e suficiente para e^{-s A}\to 0 é que a parte real de s seja positiva, isto é \Re(s)>0.
Portanto, para \Re(s)>0 obtemos
\lim_{A\to\infty}\left(-\dfrac{1}{s}e^{-s A}+\dfrac{1}{s}\right)=0+\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{s}.
Se \Re(s)\le 0, a integral diverge (não converge).

Passo 5

Concluímos que a transformada de Laplace da função constante 1 existe e é dada por \dfrac{1}{s} quando \Re(s)>0. Essa é a resposta que você deve memorizar para usar em provas: a constante transforma em 1/s, com região de convergência \Re(s)>0.

Resposta

\dfrac{1}{s}, \Re(s)>0

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