( \mathbf{2 , 0} pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+y=0, \operatorname{com} y(0)=0, y^{\prime}(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
2y''-3y'+y=0,
com as condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=-1.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
\text{(i) \\ a equação é homogênea e linear de 2ª ordem com coeficientes constantes;}çãéêª
\text{(ii) \\ as condições iniciais são os valores de \(y\) e \(y'\) em \(x=0\).}çõã
Não vou resolver nada neste passo; só coloquei claramente o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes procuramos soluções da forma
y(x)=e^{rx},
porque exponenciais se comportam bem quando derivadas — a derivada de e^{rx} é r e^{rx} e a segunda derivada é r^2 e^{rx}. Aqui r é um número (possivelmente complexo) que vamos determinar. Substituindo y=e^{rx} na equação diferencial, todos os termos ficarão com o fator comum e^{rx} que não é zero, então sobrará uma equação algébrica em r. Essa equação chama-se equação característica.

Passo 3

Substituindo y=e^{rx} na equação dada:
y'=r e^{rx},\qquad y''=r^2 e^{rx}.
Substituindo em 2y''-3y'+y=0 e dividindo por e^{rx} (não zero) obtemos a equação característica
2r^2-3r+1=0.

Passo 4

Resolvo a equação quadrática 2r^2-3r+1=0. Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma quadrática ar^2+br+c=0, as raízes são
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=2, b=-3, c=1. Primeiro calculemos o discriminante:
\Delta=b^2-4ac = (-3)^2-4\cdot2\cdot1 = 9-8 = 1.
Como \Delta>0 teremos duas raízes reais distintas.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
r=\frac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2\cdot2}=\frac{3\pm1}{4}.
Logo as duas raízes são
r_1=\frac{3+1}{4}=1,\qquad r_2=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral da EDO homogênea é
y(x)=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais. No nosso caso:
y(x)=C_1 e^{x} + C_2 e^{x/2}.
Aqui C_1,C_2 representam componentes independentes da solução (coeficientes lineares).

Passo 7

Para aplicar as condições iniciais precisamos de y'. Derivo a solução geral termo a termo:
y'(x)=C_1 e^{x} + \frac{1}{2}C_2 e^{x/2}.
Expliquei: a derivada de e^{x} é e^{x}, e a derivada de e^{x/2} é \tfrac{1}{2}e^{x/2} por regra da cadeia.

Passo 8

Agora uso as condições iniciais em x=0.
Da condição y(0)=0:
y(0)=C_1 e^{0} + C_2 e^{0} = C_1 + C_2 = 0.
Portanto
C_1 + C_2 = 0.
Da condição y'(0)=-1:
y'(0)=C_1 e^{0} + \frac{1}{2}C_2 e^{0} = C_1 + \frac{1}{2}C_2 = -1.
Portanto
C_1 + \frac{1}{2}C_2 = -1.

Passo 9

Resolvemos o sistema de duas equações lineares em C_1\) e \(C_2\): \[\begin{cases} C_1 + C_2 = 0,\\[4pt] C_1 + \dfrac{1}{2}C_2 = -1. \end{cases}
Da primeira equação C_2 = -C_1\]. Substituo na segunda: \[C_1 + \frac{1}{2}(-C_1) = -1 \quad\Rightarrow\quad C_1 - \frac{1}{2}C_1 = -1.\] O lado esquerdo é \(\dfrac{1}{2}C_1, então
\frac{1}{2}C_1 = -1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = -2.
Usando C_2=-C_1 vem
C_2 = 2.]

Passo 10

Substituo C_1=-2 e C_2=2 na solução geral:
y(x) = -2 e^{x} + 2 e^{x/2}.
Posso fatorar 2 para ficar mais elegante:
y(x) = 2\bigl(e^{x/2}-e^{x}\bigr).
Pronto — essa função satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Resposta

y(x)=2\bigl(e^{x/2}-e^{x}\bigr)

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