(
pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
com as condições iniciais
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
Não vou resolver nada neste passo; só coloquei claramente o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes procuramos soluções da forma
porque exponenciais se comportam bem quando derivadas — a derivada de
é
e a segunda derivada é
. Aqui
é um número (possivelmente complexo) que vamos determinar. Substituindo
na equação diferencial, todos os termos ficarão com o fator comum
que não é zero, então sobrará uma equação algébrica em
. Essa equação chama-se equação característica.
Passo 3
Substituindo
na equação dada:
Substituindo em
e dividindo por
(não zero) obtemos a equação característica
Passo 4
Resolvo a equação quadrática
. Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma quadrática
, as raízes são
Aqui
,
,
. Primeiro calculemos o discriminante:
Como
teremos duas raízes reais distintas.
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Logo as duas raízes são
Passo 6
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da EDO homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais. No nosso caso:
Aqui
representam componentes independentes da solução (coeficientes lineares).
Passo 7
Para aplicar as condições iniciais precisamos de
. Derivo a solução geral termo a termo:
Expliquei: a derivada de
é
, e a derivada de
é
por regra da cadeia.
Passo 8
Agora uso as condições iniciais em
.
Da condição
:
Portanto
Da condição
:
Portanto
Passo 9
Resolvemos o sistema de duas equações lineares em
Da primeira equação
, então
Usando
vem
Passo 10
Substituo
e
na solução geral:
Posso fatorar
para ficar mais elegante:
Pronto — essa função satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.