(
pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial e pela condição inicial. Informações fornecidas:
com a condição inicial
Ou seja, precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para todo
(onde está definida) e que assume o valor
em
.
Passo 2
Classificação da equação e estratégia (sem resolver ainda).
A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear na incógnita . Formato geral de uma equação linear de primeira ordem:
A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear na incógnita
onde aqui
(constante) e
(constante). Duas maneiras simples e comuns de resolver esse tipo de equação:
- Método do fator integrante (integrating factor).
- Separar a solução em solução homogênea mais uma solução particular (método da soma de soluções).
Vou usar ambos brevemente (para reforçar a intuição), mas vou desenvolver passo a passo usando o método clássico do fator integrante e também mostrar o método da solução homogênea + particular porque é curto e muito útil em provas.
Passo 3
Explicando o método do fator integrante (intuição e fórmula).
A ideia: multiplicar a equação por uma função tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Para isso escolhemos
satisfazendo
A ideia: multiplicar a equação por uma função
Com isso,
No nosso caso
, então resolvemos
Essa é uma equação diferencial simples (separável); sua solução geral é
Portanto o fator integrante é
.
Passo 4
Aplicando o fator integrante à equação original.
Multiplicamos a equação por :
Multiplicamos a equação por
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Integração para obter a solução geral.
Integramos ambos os lados em relação a :
Integramos ambos os lados em relação a
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito:
onde
é a constante de integração. Assim obtemos a relação
Dividindo por
(sempre positivo), temos a solução geral:
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 6
Alternativa curta (método homogêneo + particular) — explicação rápida.
Esse método consiste em achar:
Esse método consiste em achar:
- solução da equação homogênea associada
😉 - uma solução particular da equação completa.
Para a homogênea:
logo
.
Para a particular, como o lado direito
é constante, tentamos
constante. Substituindo:
Assim a solução geral é
coincidindo com o resultado do método do fator integrante.
Passo 7
Aplicando a condição inicial
para determinar a constante.
Usamos a solução geral e impomos
:
Usamos a solução geral
Daí
Passo 8
Escrevendo a solução particular que satisfaz a condição inicial e conferindo.
Substituindo na solução geral:
Substituindo
É bom fazer uma checagem rápida: para
obtemos
, que coincide com a condição inicial. Além disso, derivando
e substituindo na equação original veremos que a igualdade é satisfeita (confere a consistência).