( \mathbf{2 , 0} pontos) Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
y^{\prime}+2 y=6, y(0)=1;

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial e pela condição inicial. Informações fornecidas:
y'(x) + 2\,y(x) = 6,
com a condição inicial
y(0)=1.
Ou seja, precisamos encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para todo x (onde está definida) e que assume o valor 1 em x=0.

Passo 2

Classificação da equação e estratégia (sem resolver ainda).
A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear na incógnita y. Formato geral de uma equação linear de primeira ordem:
y'(x)+p(x)\,y(x)=q(x),
onde aqui p(x)=2 (constante) e q(x)=6 (constante). Duas maneiras simples e comuns de resolver esse tipo de equação:
  1. Método do fator integrante (integrating factor).
  2. Separar a solução em solução homogênea mais uma solução particular (método da soma de soluções).
    Vou usar ambos brevemente (para reforçar a intuição), mas vou desenvolver passo a passo usando o método clássico do fator integrante e também mostrar o método da solução homogênea + particular porque é curto e muito útil em provas.

Passo 3

Explicando o método do fator integrante (intuição e fórmula).
A ideia: multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y(x). Para isso escolhemos \mu(x) satisfazendo
\mu'(x)=\mu(x)\,p(x).
Com isso,
\big(\mu(x)y(x)\big)'=\mu(x)y'(x)+\mu'(x)y(x)=\mu(x)\big(y'(x)+p(x)y(x)\big).
No nosso caso p(x)=2, então resolvemos
\mu'(x)=2\mu(x).
Essa é uma equação diferencial simples (separável); sua solução geral é
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Portanto o fator integrante é \mu(x)=e^{2x}.

Passo 4

Aplicando o fator integrante à equação original.
Multiplicamos a equação por \mu(x)=e^{2x}:
e^{2x}\big(y'(x)+2y(x)\big)=6e^{2x}.
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\big(e^{2x}y(x)\big)'=6e^{2x}.

Passo 5

Integração para obter a solução geral.
Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(e^{2x}y(x)\big)' \,dx = \int 6e^{2x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{2x}y(x). Para o lado direito:
\int 6e^{2x}\,dx = 6\int e^{2x}\,dx = 6\cdot\frac{1}{2}e^{2x} + C = 3e^{2x}+C,
onde C é a constante de integração. Assim obtemos a relação
e^{2x}y(x)=3e^{2x}+C.
Dividindo por e^{2x} (sempre positivo), temos a solução geral:
y(x)=3 + C e^{-2x},
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 6

Alternativa curta (método homogêneo + particular) — explicação rápida.
Esse método consiste em achar:
  • solução da equação homogênea associada \;y'(x)+2y(x)=0😉
  • uma solução particular da equação completa.
Para a homogênea:
y'_h+2y_h=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{y'_h}{y_h}=-2 \quad\Rightarrow\quad \ln|y_h|=-2x + C_1,
logo y_h(x)=C e^{-2x}.
Para a particular, como o lado direito q(x)=6 é constante, tentamos y_p=A constante. Substituindo:
0 + 2A = 6 \quad\Rightarrow\quad A=3.
Assim a solução geral é
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C e^{-2x} + 3,
coincidindo com o resultado do método do fator integrante.

Passo 7

Aplicando a condição inicial y(0)=1 para determinar a constante.
Usamos a solução geral y(x)=3 + C e^{-2x} e impomos y(0)=1:
y(0)=3 + C e^{0}=3 + C = 1.
Daí
C = 1-3 = -2.

Passo 8

Escrevendo a solução particular que satisfaz a condição inicial e conferindo.
Substituindo C=-2 na solução geral:
y(x)=3 - 2 e^{-2x}.
É bom fazer uma checagem rápida: para x=0 obtemos y(0)=3-2\cdot 1=1, que coincide com a condição inicial. Além disso, derivando y(x) e substituindo na equação original veremos que a igualdade é satisfeita (confere a consistência).

Resposta

y(x)=3-2e^{-2x}

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