Transformar as seguintes equações dadas em coordenadas polares em Coordenadas Cartesianas.
r=4 cdot cos (2 theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação dada em coordenadas polares: r = 4 cdot cos(2theta) . Nosso objetivo é transformar essa equação em coordenadas cartesianas (x e y). Para isso, vamos precisar usar algumas relações básicas entre coordenadas polares e cartesianas, como:
  • x = r cdot cos(theta)
  • y = r cdot sin(theta)
  • r^2 = x^2 + y^2

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que cos(2theta) pode ser expandido usando a fórmula do ângulo duplo:
cos(2theta) = 2cos^2(theta) - 1
Mas para facilitar, uma outra maneira de expressar cos(2theta) em termos de x e y é:
cos(2theta) = x^2 - y^2r^2
Isso porque:
cos(theta) = xr e sin(theta) = yr

Passo 3

Agora, substituímos cos(2theta) na equação original:
r = 4 cdot cos(2theta)
r = 4 cdot x^2 - y^2r^2

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados por r^2 para eliminar o denominador:
r^3 = 4(x^2 - y^2)
Lembrando que r = raizx^2 + y^2 , então:
(raizx^2 + y^2)^3 = 4(x^2 - y^2)
(x^2 + y^2)^32 = 4(x^2 - y^2)

Resposta

A equação r = 4 cdot cos(2theta) em coordenadas cartesianas fica:
(x^2 + y^2)^32 = 4(x^2 - y^2)

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