Transforme os números abaixo em frações decimais:
0,57577

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o número decimal 0,57577. Vou entender isso como o decimal periódico 0,575777\ldots, ou seja, os três primeiros algarismos depois da vírgula são 5,7,5 e a partir daí o algarismo 7 se repete infinitamente.
  • A tarefa é transformar esse número em uma fração (irracional não — é uma fração racional que representa o decimal periódico).

Passo 2

Definição e ideia principal (método algébrico padrão):
  • Chamo o número de x: x = 0,575777\ldots.
  • Vou separar a parte não periódica e a parte periódica. A parte não periódica tem m=3 dígitos (são 5,7,5) e a parte periódica tem n=1 dígito (o 7 que se repete).
  • A técnica: multiplicar x por 10^{m+n} e por 10^{m} para deslocar as casas decimais de modo que, ao subtrair, a parte periódica se elimine.

Passo 3

Aplicando a técnica:
  • Multiplico por 10^{m+n}=10^{4}=10000:
10000x = 5757,7777\ldots
  • Multiplico por 10^{m}=10^{3}=1000:
1000x = 575,7777\ldots
  • Subtraio as duas equações para eliminar a parte periódica (a parte decimal repetida):
10000x - 1000x = 5757,7777\ldots - 575,7777\ldots
  • No lado esquerdo fica 9000x. No lado direito os infinitos decimais iguais se cancelam, sobrando a diferença das partes inteiras:
9000x = 5757 - 575 = 5182.

Passo 4

Isolando x e simplificando a fração:
x = \frac{5182}{9000}.
Agora simplifico a fração dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum simples que aparece (aqui 2 serve):
\frac{5182}{9000} = \frac{2591}{4500}.
Verifico que 2591 não é par e não é múltiplo de 3 (soma dos dígitos 2+5+9+1=17), então a fração já está simplificada.

Passo 5

Uma explicação alternativa (mesma ideia, vista como soma de parte finita + série geométrica) — útil para entender por que o método funciona:
  • Escrevo x como 0,575 + 0,0007777\ldots.
  • A parte 0,575 é \dfrac{575}{1000}.
  • A parte periódica 0,0007777\ldots é uma série geométrica com primeiro termo a=7\cdot10^{-4} e razão r=\tfrac{1}{10}. A soma é
\frac{a}{1-r}=\frac{7\cdot10^{-4}}{1-\tfrac{1}{10}}=\frac{7\cdot10^{-4}}{\tfrac{9}{10}}=\frac{7}{9000}.
  • Somando:
x=\frac{575}{1000}+\frac{7}{9000}=\frac{5175+7}{9000}=\frac{5182}{9000}=\frac{2591}{4500},
o que confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{2591}{4500}

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