Transforme os números abaixo em frações decimais:
0,57577
0,57577
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o número decimal
. Vou entender isso como o decimal periódico , ou seja, os três primeiros algarismos depois da vírgula são e a partir daí o algarismo se repete infinitamente. - A tarefa é transformar esse número em uma fração (irracional não — é uma fração racional que representa o decimal periódico).
Passo 2
Definição e ideia principal (método algébrico padrão):
- Chamo o número de
: . - Vou separar a parte não periódica e a parte periódica. A parte não periódica tem
dígitos (são ) e a parte periódica tem dígito (o que se repete). - A técnica: multiplicar
por e por para deslocar as casas decimais de modo que, ao subtrair, a parte periódica se elimine.
Passo 3
Aplicando a técnica:
- Multiplico por
:
- Multiplico por
:
- Subtraio as duas equações para eliminar a parte periódica (a parte decimal repetida):
- No lado esquerdo fica
. No lado direito os infinitos decimais iguais se cancelam, sobrando a diferença das partes inteiras:
Passo 4
Isolando
e simplificando a fração:
Agora simplifico a fração dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum simples que aparece (aqui
serve):
Verifico que
não é par e não é múltiplo de
(soma dos dígitos
), então a fração já está simplificada.
Passo 5
Uma explicação alternativa (mesma ideia, vista como soma de parte finita + série geométrica) — útil para entender por que o método funciona:
- Escrevo
como . - A parte
é . - A parte periódica
é uma série geométrica com primeiro termo e razão . A soma é
- Somando:
o que confirma o resultado anterior.