Transforme os números \mathrm{x}: 0.159753 e \mathrm{y}: 1234567 para a base 2.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos\n
  • Pede: transformar os dois números dados em base decimal para base 2 (binária).
  • Dados:
    • x = 0,159753_{10} (número decimal fracionário).
    • y = 1234567_{10} (número decimal inteiro).
Vou trabalhar cada caso separadamente: primeiro explico o método para inteiros, aplico no y; depois explico o método para frações, aplico no x. Não inicio a resolução ainda; apenas organizei o que é pedido e os valores que tenho.

Passo 2

Como converter um inteiro decimal para binário — ideia e fórmula\n
  • Ideia: representar um inteiro N como soma de potências de 2. O algoritmo prático é dividir sucessivamente por 2 e anotar os restos (0 ou 1). Esses restos, lidos de baixo para cima (último resto → primeiro resto), são os bits da representação binária.
  • Passos do algoritmo (variáveis):
    • Começar com N_0 = N.
    • Para k = 0,1,2,\dots: dividir N_k por 2: N_k = 2\cdot Q_{k+1} + r_{k+1},\quad r_{k+1}\in\{0,1\},onde Q_{k+1} é o quociente inteiro e r_{k+1} é o resto.
    • Substituir N_{k+1}=Q_{k+1} e repetir até obter Q_{m}=0.
    • A representação binária de N é N = (r_{m}\,r_{m-1}\,\dots\,r_{2}\,r_{1})_2,ou seja, os restos em ordem inversa (do último gerado para o primeiro).
  • Exemplo rápido (para fixar): se N=13, 13\div2=6\\ \text{r}1,\quad 6\div2=3\\ \text{r}0,\quad 3\div2=1\\ \text{r}1,\quad 1\div2=0\\ \text{r}1,lendo os restos de baixo para cima obtemos 13_{10}=1101_2.

Passo 3

Converter y=1234567_{10} para binário, passo a passo (divisões sucessivas)\n
Vou fazer as divisões e anotar os restos; cada resto é um bit (LSB primeiro). As contas abaixo foram feitas por divisões inteiras simples:
\begin{aligned} 1234567 &= 2\cdot617283 + 1 &&(r_1=1)\\\\ 617283 &= 2\cdot308641 + 1 &&(r_2=1)\\\\ 308641 &= 2\cdot154320 + 1 &&(r_3=1)\\\\ 154320 &= 2\cdot77160 + 0 &&(r_4=0)\\\\ 77160 &= 2\cdot38580 + 0 &&(r_5=0)\\\\ 38580 &= 2\cdot19290 + 0 &&(r_6=0)\\\\ 19290 &= 2\cdot9645 + 0 &&(r_7=0)\\\\ 9645 &= 2\cdot4822 + 1 &&(r_8=1)\\\\ 4822 &= 2\cdot2411 + 0 &&(r_9=0)\\\\ 2411 &= 2\cdot1205 + 1 &&(r_{10}=1)\\\\ 1205 &= 2\cdot602 + 1 &&(r_{11}=1)\\\\ 602 &= 2\cdot301 + 0 &&(r_{12}=0)\\\\ 301 &= 2\cdot150 + 1 &&(r_{13}=1)\\\\ 150 &= 2\cdot75 + 0 &&(r_{14}=0)\\\\ 75 &= 2\cdot37 + 1 &&(r_{15}=1)\\\\ 37 &= 2\cdot18 + 1 &&(r_{16}=1)\\\\ 18 &= 2\cdot9 + 0 &&(r_{17}=0)\\\\ 9 &= 2\cdot4 + 1 &&(r_{18}=1)\\\\ 4 &= 2\cdot2 + 0 &&(r_{19}=0)\\\\ 2 &= 2\cdot1 + 0 &&(r_{20}=0)\\\\ 1 &= 2\cdot0 + 1 &&(r_{21}=1) \end{aligned}
Agora lemos os restos de trás para frente (do último resto r_{21} até r_1) para formar os bits do mais significativo para o menos significativo:
(r_{21}r_{20}\dots r_2 r_1) =1\;0\;0\;1\;0\;1\;1\;0\;1\;0\;1\;1\;0\;1\;0\;0\;0\;0\;1\;1\;1.
Portanto a representação binária exata é
y=1234567_{10} = 100101101011010000111_2.
(Dica: é sempre bom verificar somando as potências de 2 correspondentes aos bits 1; aqui a soma devolve 1\,234\,567, conferindo que está correto.)

Passo 4

Como converter uma parte fracionária decimal para binário — ideia e fórmula\n
  • Ideia: para converter a parte fracionária 0<f<1 em binário, multiplica-se f por 2; a parte inteira do produto (0 ou 1) é o primeiro bit depois da vírgula binária; em seguida repete-se o processo com a nova fracção (a parte fracionária do produto). Formalmente, para f_0=f, f_{k+1} = 2 f_k - b_k,\quad b_k=\lfloor 2 f_k\rfloor \in\{0,1\}.O bit b_k é o k-ésimo bit após a vírgula em base 2. Repetir até obter fracção zero ou até o número de bits desejado.
  • Observação teórica importante: se f é racional com denominador que, na forma reduzida, tem fatores primos além de 2, a expansão binária será periódica (infinita). No nosso caso 0,159753=\dfrac{159753}{10^6}. Como 10^6=2^6\cdot5^6 e o numerador não é múltiplo de 5, na forma reduzida haverá fator 5 no denominador, logo a expansão binária será periódica (infinita). Então vamos fornecer um número razoável de bits (aproximação) e explicar que continua repetindo.

Passo 5

Converter x=0,159753_{10} para binário — multiplicações sucessivas (mostrando os primeiros bits)\n
Vou aplicar o algoritmo de multiplicar por 2, anotar a parte inteira como bit e continuar com a fracção resultante. Faço aqui 50 iterações (bastante prática para uma boa aproximação); cada linha mostra 2\cdot f_k, o bit extraído b_k e a nova fracção f_{k+1}.
\begin{aligned} 2\cdot0,159753 &= 0,319506 &&(b_1=0,\\ f_1=0,319506)\\\\ 2\cdot0,319506 &= 0,639012 &&(b_2=0,\\ f_2=0,639012)\\\\ 2\cdot0,639012 &= 1,278024 &&(b_3=1,\\ f_3=0,278024)\\\\ 2\cdot0,278024 &= 0,556048 &&(b_4=0,\\ f_4=0,556048)\\\\ 2\cdot0,556048 &= 1,112096 &&(b_5=1,\\ f_5=0,112096)\\\\ 2\cdot0,112096 &= 0,224192 &&(b_6=0,\\ f_6=0,224192)\\\\ 2\cdot0,224192 &= 0,448384 &&(b_7=0,\\ f_7=0,448384)\\\\ 2\cdot0,448384 &= 0,896768 &&(b_8=0,\\ f_8=0,896768)\\\\ 2\cdot0,896768 &= 1,793536 &&(b_9=1,\\ f_9=0,793536)\\\\ 2\cdot0,793536 &= 1,587072 &&(b_{10}=1,\\ f_{10}=0,587072)\\\\ 2\cdot0,587072 &= 1,174144 &&(b_{11}=1,\\ f_{11}=0,174144)\\\\ 2\cdot0,174144 &= 0,348288 &&(b_{12}=0,\\ f_{12}=0,348288)\\\\ 2\cdot0,348288 &= 0,696576 &&(b_{13}=0,\\ f_{13}=0,696576)\\\\ 2\cdot0,696576 &= 1,393152 &&(b_{14}=1,\\ f_{14}=0,393152)\\\\ 2\cdot0,393152 &= 0,786304 &&(b_{15}=0,\\ f_{15}=0,786304)\\\\ 2\cdot0,786304 &= 1,572608 &&(b_{16}=1,\\ f_{16}=0,572608)\\\\ 2\cdot0,572608 &= 1,145216 &&(b_{17}=1,\\ f_{17}=0,145216)\\\\ 2\cdot0,145216 &= 0,290432 &&(b_{18}=0,\\ f_{18}=0,290432)\\\\ 2\cdot0,290432 &= 0,580864 &&(b_{19}=0,\\ f_{19}=0,580864)\\\\ 2\cdot0,580864 &= 1,161728 &&(b_{20}=1,\\ f_{20}=0,161728)\\\\ 2\cdot0,161728 &= 0,323456 &&(b_{21}=0,\\ f_{21}=0,323456)\\\\ 2\cdot0,323456 &= 0,646912 &&(b_{22}=0,\\ f_{22}=0,646912)\\\\ 2\cdot0,646912 &= 1,293824 &&(b_{23}=1,\\ f_{23}=0,293824)\\\\ 2\cdot0,293824 &= 0,587648 &&(b_{24}=0,\\ f_{24}=0,587648)\\\\ 2\cdot0,587648 &= 1,175296 &&(b_{25}=1,\\ f_{25}=0,175296)\\\\ 2\cdot0,175296 &= 0,350592 &&(b_{26}=0,\\ f_{26}=0,350592)\\\\ 2\cdot0,350592 &= 0,701184 &&(b_{27}=0,\\ f_{27}=0,701184)\\\\ 2\cdot0,701184 &= 1,402368 &&(b_{28}=1,\\ f_{28}=0,402368)\\\\ 2\cdot0,402368 &= 0,804736 &&(b_{29}=0,\\ f_{29}=0,804736)\\\\ 2\cdot0,804736 &= 1,609472 &&(b_{30}=1,\\ f_{30}=0,609472)\\\\ 2\cdot0,609472 &= 1,218944 &&(b_{31}=1,\\ f_{31}=0,218944)\\\\ 2\cdot0,218944 &= 0,437888 &&(b_{32}=0,\\ f_{32}=0,437888)\\\\ 2\cdot0,437888 &= 0,875776 &&(b_{33}=0,\\ f_{33}=0,875776)\\\\ 2\cdot0,875776 &= 1,751552 &&(b_{34}=1,\\ f_{34}=0,751552)\\\\ 2\cdot0,751552 &= 1,503104 &&(b_{35}=1,\\ f_{35}=0,503104)\\\\ 2\cdot0,503104 &= 1,006208 &&(b_{36}=1,\\ f_{36}=0,006208)\\\\ 2\cdot0,006208 &= 0,012416 &&(b_{37}=0,\\ f_{37}=0,012416)\\\\ 2\cdot0,012416 &= 0,024832 &&(b_{38}=0,\\ f_{38}=0,024832)\\\\ 2\cdot0,024832 &= 0,049664 &&(b_{39}=0,\\ f_{39}=0,049664)\\\\ 2\cdot0,049664 &= 0,099328 &&(b_{40}=0,\\ f_{40}=0,099328)\\\\ 2\cdot0,099328 &= 0,198656 &&(b_{41}=0,\\ f_{41}=0,198656)\\\\ 2\cdot0,198656 &= 0,397312 &&(b_{42}=0,\\ f_{42}=0,397312)\\\\ 2\cdot0,397312 &= 0,794624 &&(b_{43}=0,\\ f_{43}=0,794624)\\\\ 2\cdot0,794624 &= 1,589248 &&(b_{44}=1,\\ f_{44}=0,589248)\\\\ 2\cdot0,589248 &= 1,178496 &&(b_{45}=1,\\ f_{45}=0,178496)\\\\ 2\cdot0,178496 &= 0,356992 &&(b_{46}=0,\\ f_{46}=0,356992)\\\\ 2\cdot0,356992 &= 0,713984 &&(b_{47}=0,\\ f_{47}=0,713984)\\\\ 2\cdot0,713984 &= 1,427968 &&(b_{48}=1,\\ f_{48}=0,427968)\\\\ 2\cdot0,427968 &= 0,855936 &&(b_{49}=0,\\ f_{49}=0,855936)\\\\ 2\cdot0,855936 &= 1,711872 &&(b_{50}=1,\\ f_{50}=0,711872) \end{aligned}
Os bits extraídos na ordem ( b_1,b_2,b_3,\dots ) formam a parte fracionária em base 2:
b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8b_9b_{10}\dots =0\;0\;1\;0\;1\;0\;0\;0\;1\;1\;\dots
Tomando os primeiros 30 bits (suficiente para uma boa aproximação), obtemos:
b_1\dots b_{30}=001010001110010110010010100101.
Como explicado antes, a expansão é periódica (infinita) porque 0,159753=\dfrac{159753}{10^{6}} tem denominador na forma reduzida com fator 5; então não existe uma representação binária finita. Podemos escrever a aproximação com reticências:
x=0,159753_{10}\approx 0,001010001110010110010010100101\ldots_2.

Passo 6

Resumo final e dicas para usar isso na prova\n
  • Para inteiros: fazer divisões por 2 e ler restos ao contrário. Para checar, somar as potências de 2 correspondentes aos bits 1.
  • Para frações: multiplicar por 2, extrair parte inteira repetidamente. Lembrar que se o denominador reduzido tiver fatores primos além de 2, a expansão binária será periódica (infinita); assim a resposta costuma ser uma aproximação com certos bits mostrados e reticências.

Resposta

0,159753_{10} \approx 0,001010001110010110010010100101\ldots_2
1234567_{10} = 100101101011010000111_2

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