Transforme os números
e
para a base 2.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos\n
- Pede: transformar os dois números dados em base decimal para base 2 (binária).
- Dados:
-
(número decimal fracionário). -
(número decimal inteiro).
-
Vou trabalhar cada caso separadamente: primeiro explico o método para inteiros, aplico no
; depois explico o método para frações, aplico no
. Não inicio a resolução ainda; apenas organizei o que é pedido e os valores que tenho.
Passo 2
Como converter um inteiro decimal para binário — ideia e fórmula\n
- Ideia: representar um inteiro
como soma de potências de . O algoritmo prático é dividir sucessivamente por e anotar os restos (0 ou 1). Esses restos, lidos de baixo para cima (último resto → primeiro resto), são os bits da representação binária. - Passos do algoritmo (variáveis):
- Começar com
. - Para
: dividir por : onde é o quociente inteiro e é o resto. - Substituir
e repetir até obter . - A representação binária de
é ou seja, os restos em ordem inversa (do último gerado para o primeiro).
- Começar com
- Exemplo rápido (para fixar): se
, lendo os restos de baixo para cima obtemos .
Passo 3
Converter
para binário, passo a passo (divisões sucessivas)\n
Vou fazer as divisões e anotar os restos; cada resto é um bit (LSB primeiro). As contas abaixo foram feitas por divisões inteiras simples:
Vou fazer as divisões e anotar os restos; cada resto é um bit (LSB primeiro). As contas abaixo foram feitas por divisões inteiras simples:
Agora lemos os restos de trás para frente (do último resto
até
) para formar os bits do mais significativo para o menos significativo:
Portanto a representação binária exata é
(Dica: é sempre bom verificar somando as potências de
correspondentes aos bits
; aqui a soma devolve
, conferindo que está correto.)
Passo 4
Como converter uma parte fracionária decimal para binário — ideia e fórmula\n
- Ideia: para converter a parte fracionária
em binário, multiplica-se por ; a parte inteira do produto (0 ou 1) é o primeiro bit depois da vírgula binária; em seguida repete-se o processo com a nova fracção (a parte fracionária do produto). Formalmente, para , O bit é o -ésimo bit após a vírgula em base 2. Repetir até obter fracção zero ou até o número de bits desejado. - Observação teórica importante: se
é racional com denominador que, na forma reduzida, tem fatores primos além de , a expansão binária será periódica (infinita). No nosso caso . Como e o numerador não é múltiplo de , na forma reduzida haverá fator no denominador, logo a expansão binária será periódica (infinita). Então vamos fornecer um número razoável de bits (aproximação) e explicar que continua repetindo.
Passo 5
Converter
para binário — multiplicações sucessivas (mostrando os primeiros bits)\n
Vou aplicar o algoritmo de multiplicar por , anotar a parte inteira como bit e continuar com a fracção resultante. Faço aqui
iterações (bastante prática para uma boa aproximação); cada linha mostra
, o bit extraído
e a nova fracção
.
Vou aplicar o algoritmo de multiplicar por
Os bits extraídos na ordem (
) formam a parte fracionária em base 2:
Tomando os primeiros 30 bits (suficiente para uma boa aproximação), obtemos:
Como explicado antes, a expansão é periódica (infinita) porque
tem denominador na forma reduzida com fator
; então não existe uma representação binária finita. Podemos escrever a aproximação com reticências:
Passo 6
Resumo final e dicas para usar isso na prova\n
- Para inteiros: fazer divisões por
e ler restos ao contrário. Para checar, somar as potências de correspondentes aos bits . - Para frações: multiplicar por
, extrair parte inteira repetidamente. Lembrar que se o denominador reduzido tiver fatores primos além de , a expansão binária será periódica (infinita); assim a resposta costuma ser uma aproximação com certos bits mostrados e reticências.