Realize a soma dos números: 121.0012210 e 212.000111222 na base 3
Passo 1
O enunciado pede para somar os dois números escritos em base 3 e fornecer o resultado em base 3. Os números dados são:
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Primeiro número:
. - Segundo número:
. - A soma deve ser realizada em base
(ou seja, os dígitos válidos são e toda vez que a soma de dígitos atingir ou mais há transporte para a posição à esquerda).
Passo 2
Pequena aula sobre adição em base
(o conceito que precisamos):
- Em base
(aqui ), cada posição representa uma potência de . Ao somar dois dígitos em uma mesma posição, soma-se também um eventual transporte (carry) vindo da posição à direita. - Se a soma nessa posição for menor que
, o resultado nessa posição é a soma e o carry é . - Se a soma for maior ou igual a
, escreve-se o resto da divisão da soma por nessa posição e o carry é o quociente inteiro da soma por . - Em base
, as possibilidades úteis são: -
(carry ), -
(carry ), -
com carry , -
com carry , - e se houver um carry adicional soma-se ele também na mesma regra (por exemplo
com carry ).
Vou aplicar exatamente essa regra posição a posição.
-
Passo 3
Antes de somar alinhamos a casa decimal (ponto) e igualamos o número de casas fracionárias adicionando zeros à direita quando necessário. Temos:
- Primeiro número com parte fracionária original de 7 dígitos:
. - Segundo número com parte fracionária de 9 dígitos:
.
Vou padronizar ambos para 9 casas fracionárias (completar o primeiro com dois zeros à direita). Assim escrevo os dois números alinhados:
Cada coluna representa a mesma potência de
; a adição será feita das casas fracionárias mais à direita para a esquerda e depois nas casas inteiras.
Passo 4
Somando as casas fracionárias da direita para a esquerda (posição
é a mais à direita). Vou indicar em cada posição a soma dos dígitos, o resto escrito e o carry para a posição imediatamente à esquerda.
- Posição
: . Resultado nessa casa: . Carry: . - Posição
: . Resultado: . Carry: . - Posição
: . Resultado: . Carry: . - Posição
: . Resultado: . Carry: . - Posição
: . Em base : com carry . Resultado: . Carry para a próxima coluna à esquerda: . - Posição
: soma dos dígitos mais o carry anterior: . Em base : com carry . Resultado: . Carry: . - Posição
: mais carry : . Resultado: . Carry: . - Posição
: . Resultado: . Carry: . - Posição
: . Resultado: . Carry: .
Então, da posição
até a
, os dígitos resultantes são, em ordem após o ponto:
Ou seja a parte fracionária resultante é
(em base
).
Obs.: o último carry que poderia passar da posição
para a parte inteira é
, portanto não há carry adicional entrando na parte inteira.
Passo 5
Agora somamos a parte inteira, da direita para a esquerda, lembrando do carry inicial (que aqui é
vindo da fração):
Os dígitos inteiros (da direita para a esquerda) são:
- primeiro número: unidades
, dezenas , centenas . - segundo número: unidades
, dezenas , centenas .
Somando:
- Unidade (posição
): . Em base : com carry . Resultado na unidade: . Carry para a próxima: . - Dezena (posição
): . Em base : com carry . Resultado na dezena: . Carry: . - Centena (posição
): . Em base : com carry . Resultado na centena: . Carry: . - Como não há mais dígitos à esquerda, o carry final
vira um novo dígito mais significativo.
Portanto a parte inteira resultante, da esquerda para a direita, é
(novo carry),
,
,
, ou seja
em base
.
Passo 6
Juntando parte inteira e parte fracionária obtém-se o resultado final em base
:
Passo 7
Cheque rápido (opcional, para dar segurança): converter rapidamente para decimal para conferir a soma.
- Primeiro número é
. - Segundo número é
. - Soma decimal aproximada
. - Nosso resultado
vale , compatível (diferenças de arredondamento muito pequenas). Isso confirma a adição em base .