Realize a soma dos números: 121.0012210 e 212.000111222 na base 3

Passo 1

O enunciado pede para somar os dois números escritos em base 3 e fornecer o resultado em base 3. Os números dados são:
121.0012210_3 e 212.000111222_3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Primeiro número: 121.0012210_3.
  • Segundo número: 212.000111222_3.
  • A soma deve ser realizada em base 3 (ou seja, os dígitos válidos são 0,1,2 e toda vez que a soma de dígitos atingir 3 ou mais há transporte para a posição à esquerda).

Passo 2

Pequena aula sobre adição em base 3 (o conceito que precisamos):
  • Em base b (aqui b=3), cada posição representa uma potência de b. Ao somar dois dígitos em uma mesma posição, soma-se também um eventual transporte (carry) vindo da posição à direita.
  • Se a soma nessa posição for menor que b, o resultado nessa posição é a soma e o carry é 0.
  • Se a soma for maior ou igual a b, escreve-se o resto da divisão da soma por b nessa posição e o carry é o quociente inteiro da soma por b.
  • Em base 3, as possibilidades úteis são:
    • 0+0=0 (carry 0),
    • 1+1=2 (carry 0),
    • 2+1=3 \rightarrow 0 com carry 1,
    • 2+2=4 \rightarrow 1 com carry 1,
    • e se houver um carry adicional soma-se ele também na mesma regra (por exemplo 2+1+1=4\rightarrow 1 com carry 1).
      Vou aplicar exatamente essa regra posição a posição.

Passo 3

Antes de somar alinhamos a casa decimal (ponto) e igualamos o número de casas fracionárias adicionando zeros à direita quando necessário. Temos:
  • Primeiro número com parte fracionária original de 7 dígitos: 0,0,1,2,2,1,0.
  • Segundo número com parte fracionária de 9 dígitos: 0,0,0,1,1,1,2,2,2.
    Vou padronizar ambos para 9 casas fracionárias (completar o primeiro com dois zeros à direita). Assim escrevo os dois números alinhados:
\begin{array}{r} 121.001221000_3\\\\ 212.000111222_3 \end{array}
Cada coluna representa a mesma potência de 3; a adição será feita das casas fracionárias mais à direita para a esquerda e depois nas casas inteiras.

Passo 4

Somando as casas fracionárias da direita para a esquerda (posição -9 é a mais à direita). Vou indicar em cada posição a soma dos dígitos, o resto escrito e o carry para a posição imediatamente à esquerda.
  • Posição -9: 0+2=2. Resultado nessa casa: 2. Carry: 0.
  • Posição -8: 0+2=2. Resultado: 2. Carry: 0.
  • Posição -7: 0+2=2. Resultado: 2. Carry: 0.
  • Posição -6: 1+1=2. Resultado: 2. Carry: 0.
  • Posição -5: 2+1=3. Em base 3: 3=0 com carry 1. Resultado: 0. Carry para a próxima coluna à esquerda: 1.
  • Posição -4: soma dos dígitos 2+1 mais o carry 1 anterior: 2+1+1=4. Em base 3: 4=1 com carry 1. Resultado: 1. Carry: 1.
  • Posição -3: 1+0 mais carry 1: 1+0+1=2. Resultado: 2. Carry: 0.
  • Posição -2: 0+0=0. Resultado: 0. Carry: 0.
  • Posição -1: 0+0=0. Resultado: 0. Carry: 0.
Então, da posição -1 até a -9, os dígitos resultantes são, em ordem após o ponto:
0,\;0,\;2,\;1,\;0,\;2,\;2,\;2,\;2
Ou seja a parte fracionária resultante é 002102222 (em base 3).
Obs.: o último carry que poderia passar da posição -1 para a parte inteira é 0, portanto não há carry adicional entrando na parte inteira.

Passo 5

Agora somamos a parte inteira, da direita para a esquerda, lembrando do carry inicial (que aqui é 0 vindo da fração):
Os dígitos inteiros (da direita para a esquerda) são:
  • primeiro número: unidades 1, dezenas 2, centenas 1.
  • segundo número: unidades 2, dezenas 1, centenas 2.
Somando:
  • Unidade (posição 3^0): 1+2+0(\text{carry})=3. Em base 3: 3=0 com carry 1. Resultado na unidade: 0. Carry para a próxima: 1.
  • Dezena (posição 3^1): 2+1+1(\text{carry})=4. Em base 3: 4=1 com carry 1. Resultado na dezena: 1. Carry: 1.
  • Centena (posição 3^2): 1+2+1(\text{carry})=4. Em base 3: 4=1 com carry 1. Resultado na centena: 1. Carry: 1.
  • Como não há mais dígitos à esquerda, o carry final 1 vira um novo dígito mais significativo.
Portanto a parte inteira resultante, da esquerda para a direita, é 1 (novo carry), 1, 1, 0, ou seja 1110 em base 3.

Passo 6

Juntando parte inteira e parte fracionária obtém-se o resultado final em base 3:
1110.002102222_3

Passo 7

Cheque rápido (opcional, para dar segurança): converter rapidamente para decimal para conferir a soma.
  • Primeiro número é 121.0012210_3 = 16 + (1\cdot3^{-3}+2\cdot3^{-4}+2\cdot3^{-5}+1\cdot3^{-6}) \approx 16,07133059.
  • Segundo número é 212.000111222_3 = 23 + (\text{soma fracionária}) \approx 23,019153585á.
  • Soma decimal aproximada 16,07133059+23,019153585\approx 39,090484175.
  • Nosso resultado 1110.002102222_3 vale 39 + (\text{soma fracionária})\approx 39,090484174á, compatível (diferenças de arredondamento muito pequenas). Isso confirma a adição em base 3.

Resposta

1110.002102222_3

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