O número (0.8)_{10} gera uma dizima periódica na ()_{3}. Considere um limite de 6 dígitos para representá-lo e calcule o erro absoluto e o erro relativo dessa representação.
Passo 1
O enunciado pede: converter o número (0,8)_{10} para base 3, considerar uma representação limitada a 6 dígitos após a vírgula em base 3 e calcular o erro absoluto e o erro relativo dessa representação (ou seja, a diferença entre o valor exato e a aproximação com 6 dígitos, e essa diferença dividida pelo valor exato). Informações dadas:
O número decimal é (0,8)_{10}.
A representação em base 3 é periódica.
A aproximação pede limite de 6 dígitos (tomarei como truncamento/chop das primeiras 6 casas em base 3).
Passo 2
Como se converte a parte fracionária de uma base 10 para outra base b (aqui b=3)? Método (explicado passo a passo):
Multiplica-se a parte fracionária pelo novo base b.
A parte inteira do resultado é o primeiro dígito na posição b^{-1}.
Repetir com a nova parte fracionária para obter os dígitos seguintes.
Vou aplicar isso a (0,8)_{10}.
Assim 81x = 64 + x, então 80x = 64 e x = \dfrac{64}{80} = \dfrac{8}{10} = 0,8. Confirmação bonita: a expansão periódica que encontramos é exatamente (0,8)_{10}.
Passo 5
Agora formar a aproximação truncando às primeiras 6 casas em base 3 (chop): os dígitos repetem como 2,1,0,1,2,1,\dots então as seis primeiras são 2,1,0,1,2,1. A aproximação em base 3 é
A = (0,210121)_3.
Vamos converter A para fração decimal (para comparar com 0,8). Cada posição vale potência negativa de 3:
Interpretação rápida e ânimo: o truncamento a 6 dígitos em base 3 produz um erro absoluto de 1/3645, que é muito pequeno (cerca de 2,74\times10^{-4}). O erro relativo também é pequeno (aprox. 3,43\times10^{-4}). Bom trabalho — entender esse processo de conversão e a conta de erros é exatamente o que costumam pedir em prova; você já tem a técnica para aplicar a outros números e outras bases!