O número (0.8)_{10} gera uma dizima periódica na () _{3}. Considere um limite de 6 dígitos para representá-lo e calcule o erro absoluto e o erro relativo dessa representação.

Passo 1

O enunciado pede: converter o número (0,8)_{10} para base 3, considerar uma representação limitada a 6 dígitos após a vírgula em base 3 e calcular o erro absoluto e o erro relativo dessa representação (ou seja, a diferença entre o valor exato e a aproximação com 6 dígitos, e essa diferença dividida pelo valor exato). Informações dadas:
  • O número decimal é (0,8)_{10}.
  • A representação em base 3 é periódica.
  • A aproximação pede limite de 6 dígitos (tomarei como truncamento/chop das primeiras 6 casas em base 3).

Passo 2

Como se converte a parte fracionária de uma base 10 para outra base b (aqui b=3)? Método (explicado passo a passo):
  • Multiplica-se a parte fracionária pelo novo base b.
  • A parte inteira do resultado é o primeiro dígito na posição b^{-1}.
  • Repetir com a nova parte fracionária para obter os dígitos seguintes.
    Vou aplicar isso a (0,8)_{10}.

Passo 3

Aplicando as multiplicações por 3:
\begin{aligned} 0,8\times3 &= 2,4 &\Rightarrow&\\ \text{d}_1=2,\\ \text{frac}=0,4,\\\\ 0,4\times3 &= 1,2 &\Rightarrow&\\ \text{d}_2=1,\\ \text{frac}=0,2,\\\\ 0,2\times3 &= 0,6 &\Rightarrow&\\ \text{d}_3=0,\\ \text{frac}=0,6,\\\\ 0,6\times3 &= 1,8 &\Rightarrow&\\ \text{d}_4=1,\\ \text{frac}=0,8. \end{aligned}
Voltamos ao resto 0,8, portanto a sequência de restos (e dígitos) se repete. Os dígitos periódicos são 2,1,0,1. Logo a representação em base 3 é
(0,8)_{10} = 0,\overline{2101}_3.

Passo 4

Breve verificação algébrica (para você ver por que isso vale exatamente 0,8):
Se x=0,\overline{2101}_3, multiplicando por 3^4=81 obtém-se
81x = 2101,\overline{2101}_3.
No lado direito o inteiro correspondente a 2101_3 vale
2\cdot3^3 + 1\cdot3^2 + 0\cdot3^1 + 1\cdot3^0 = 54+9+0+1 = 64.
Assim 81x = 64 + x, então 80x = 64 e x = \dfrac{64}{80} = \dfrac{8}{10} = 0,8. Confirmação bonita: a expansão periódica que encontramos é exatamente (0,8)_{10}.

Passo 5

Agora formar a aproximação truncando às primeiras 6 casas em base 3 (chop): os dígitos repetem como 2,1,0,1,2,1,\dots então as seis primeiras são 2,1,0,1,2,1. A aproximação em base 3 é
A = (0,210121)_3.
Vamos converter A para fração decimal (para comparar com 0,8). Cada posição vale potência negativa de 3:
A = 2\cdot3^{-1} + 1\cdot3^{-2} + 0\cdot3^{-3} + 1\cdot3^{-4} + 2\cdot3^{-5} + 1\cdot3^{-6}.
Calculemos com denominador comum 3^6=729:
\begin{aligned} 2\cdot3^{-1} &= \dfrac{2}{3} = \dfrac{486}{729},\\\\ 1\cdot3^{-2} &= \dfrac{1}{9} = \dfrac{81}{729},\\\\ 0\cdot3^{-3} &= 0,\\\\ 1\cdot3^{-4} &= \dfrac{1}{81} = \dfrac{9}{729},\\\\ 2\cdot3^{-5} &= \dfrac{2}{243} = \dfrac{6}{729},\\\\ 1\cdot3^{-6} &= \dfrac{1}{729}. \end{aligned}
Somando numeradores:
486+81+9+6+1 = 583,
portanto
A = \dfrac{583}{729}.

Passo 6

Erro absoluto: definição e cálculo.
  • Definição: erro absoluto E_a = \bigl|\,\text{valor exato} - \text{aproximação}\,\bigr|çã.
    Aqui o valor exato é 0,8 = \dfrac{4}{5}. Então
E_a = \left|\dfrac{4}{5} - \dfrac{583}{729}\right|.
Colocando denominador comum 5\cdot729=3645:
\dfrac{4}{5} = \dfrac{4\cdot729}{3645} = \dfrac{2916}{3645}, \qquad \dfrac{583}{729} = \dfrac{583\cdot5}{3645} = \dfrac{2915}{3645}.
Logo
E_a = \dfrac{2916-2915}{3645} = \dfrac{1}{3645}.
Em decimal isso vale aproximadamente
E_a \approx 0,000274349\ldots

Passo 7

Erro relativo: definição e cálculo.
  • Definição: erro relativo E_r = \dfrac{E_a}{|\text{valor exato}|}.
    Aqui
E_r = \dfrac{1/3645}{4/5} = \dfrac{1}{3645}\cdot\dfrac{5}{4} = \dfrac{1}{2916}.
Em decimal:
E_r \approx 0,000342936\ldots

Passo 8

Interpretação rápida e ânimo: o truncamento a 6 dígitos em base 3 produz um erro absoluto de 1/3645, que é muito pequeno (cerca de 2,74\times10^{-4}). O erro relativo também é pequeno (aprox. 3,43\times10^{-4}). Bom trabalho — entender esse processo de conversão e a conta de erros é exatamente o que costumam pedir em prova; você já tem a técnica para aplicar a outros números e outras bases!

Resposta

Erro absoluto: \dfrac{1}{3645}\approx 0,000274349
Erro relativo: \dfrac{1}{2916}\approx 0,000342936

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