Transforme em soma de logaritmos:
Passo 1
O enunciado pede para transformar a expressão
em uma soma de logaritmos.
Informações relevantes dadas (ou implícitas e necessárias para que o logaritmo faça sentido): e
(condições para a base do logaritmo) e os argumentos
e
são positivos, então
está bem definido.
Informações relevantes dadas (ou implícitas e necessárias para que o logaritmo faça sentido):
Passo 2
Propriedade que vamos usar (regra do produto para logaritmos). Ela diz que, para qualquer base válida
e quaisquer
,
,
Vou explicar por que essa propriedade é verdadeira de forma simples e passo a passo:
- Defina
e . Por definição de logaritmo isso significa que e . Aqui e são apenas os números que representam os logaritmos de e . - Multiplicando
e obtemos . - Usando a regra das potências para produtos com mesma base,
. - Agora, tomando logaritmo na base
de ambos os lados, . Mas e , logo
Essa é justamente a propriedade que transforma produto dentro do logaritmo em soma fora dele.
Passo 3
Aplicando a propriedade do passo anterior ao caso concreto com
e
, temos
Passo 4
Como verificação rápida e intuitiva:
, então
. A igualdade
segue da propriedade que acabamos de usar. Um exemplo numérico (base
) para ficar mais concreto:
e
o que confirma que a transformação funciona na prática.