Transforme em soma de logaritmos:
\log _{b}(2 \cdot 7)

Passo 1

O enunciado pede para transformar a expressão \log_{b}(2 \cdot 7) em uma soma de logaritmos.
Informações relevantes dadas (ou implícitas e necessárias para que o logaritmo faça sentido): \;b>0 e b\neq 1 (condições para a base do logaritmo) e os argumentos 2 e 7 são positivos, então \log_{b}(2\cdot7) está bem definido.

Passo 2

Propriedade que vamos usar (regra do produto para logaritmos). Ela diz que, para qualquer base válida b e quaisquer x>0, y>0,
\log_{b}(xy)=\log_{b}x+\log_{b}y.
Vou explicar por que essa propriedade é verdadeira de forma simples e passo a passo:
  1. Defina u=\log_{b}x e v=\log_{b}y. Por definição de logaritmo isso significa que x=b^{u} e y=b^{v}. Aqui u e v são apenas os números que representam os logaritmos de x e y.
  2. Multiplicando x e y obtemos xy=b^{u}\cdot b^{v}.
  3. Usando a regra das potências para produtos com mesma base, b^{u}\cdot b^{v}=b^{u+v}.
  4. Agora, tomando logaritmo na base b de ambos os lados, \log_{b}(xy)=\log_{b}\big(b^{u+v}\big)=u+v. Mas u=\log_{b}x e v=\log_{b}y, logo
\log_{b}(xy)=\log_{b}x+\log_{b}y.
Essa é justamente a propriedade que transforma produto dentro do logaritmo em soma fora dele.

Passo 3

Aplicando a propriedade do passo anterior ao caso concreto com x=2 e y=7, temos
\log_{b}(2\cdot 7)=\log_{b}2+\log_{b}7.

Passo 4

Como verificação rápida e intuitiva: 2\cdot7=14, então \log_{b}(2\cdot7)=\log_{b}14. A igualdade \log_{b}14=\log_{b}2+\log_{b}7 segue da propriedade que acabamos de usar. Um exemplo numérico (base 10) para ficar mais concreto:
\log_{10}(2\cdot7)=\log_{10}14\approx 1,1461
e
\log_{10}2+\log_{10}7\approx 0,3010+0,8451\approx 1,1461,
o que confirma que a transformação funciona na prática.

Resposta

\log_{b}2+\log_{b}7

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