Transforme em soma de logaritmos:
\log _{a}(3 \cdot 5)

Passo 1

O enunciado pede para transformar em soma de logaritmos a expressão \log_{a}(3\cdot 5).
Informações dadas: a expressão é o logaritmo na base \,a\, do produto 3\cdot 5.
O que se deseja: escrever \log_{a}(3\cdot 5) como uma soma de logaritmos (ou seja, algo do tipo \log_{a}(\cdot)+\log_{a}(\cdot)).

Passo 2

Vamos lembrar o significado de logaritmo de modo bem claro. Por definição, para uma base \,a tal que \,a>0 e \,a\neq 1, dizer que
\log_{a} x = m
significa exatamente que
a^{m} = x,
onde x>0 e m é o número real que representa o logaritmo.
Explicando as variáveis: \,a é a base do logaritmo (fixa), \,x é o número cujo logaritmo estamos calculando, e \,m é o resultado (o expoente tal que a^{m}=x).

Passo 3

Agora fazemos um truque padrão para derivar a propriedade dos logaritmos para produto. Seja
\log_{a} 3 = m. Pela definição, isso significa a^{m}=3.
Seja também \log_{a} 5 = n. Pela definição, isso significa a^{n}=5.

Passo 4

Multiplicando as duas igualdades obtidas:
a^{m}\cdot a^{n} = 3\cdot 5.
Pela regra das potências com a mesma base, a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}. Portanto
a^{m+n}=3\cdot 5.

Passo 5

Pela definição de logaritmo, a igualdade a^{m+n}=3\cdot 5 implica que
\log_{a}(3\cdot 5)=m+n.
Mas lembramos que m=\log_{a}3 e n=\log_{a}5. Substituindo,
\log_{a}(3\cdot 5)=\log_{a}3+\log_{a}5.

Passo 6

Observação prática para a prova: a propriedade usada é geral — para quaisquer x>0 e y>0,
\log_{a}(x y)=\log_{a}x+\log_{a}y,
desde que a base \,a satisfaça \,a>0 e \,a\neq1. Um exemplo rápido similar: \log_{a}(2\cdot7)=\log_{a}2+\log_{a}7.

Resposta

\log_{a}3+\log_{a}5

Exercícios relacionados