Transforme em soma de logaritmos:
Passo 1
O enunciado pede para transformar em soma de logaritmos a expressão
.
Informações dadas: a expressão é o logaritmo na base do produto
.
O que se deseja: escrever como uma soma de logaritmos (ou seja, algo do tipo
).
Informações dadas: a expressão é o logaritmo na base
O que se deseja: escrever
Passo 2
Vamos lembrar o significado de logaritmo de modo bem claro. Por definição, para uma base
tal que
e
, dizer que
significa exatamente que
,
onde e
é o número real que representa o logaritmo.
Explicando as variáveis: é a base do logaritmo (fixa),
é o número cujo logaritmo estamos calculando, e
é o resultado (o expoente tal que
).
significa exatamente que
onde
Explicando as variáveis:
Passo 3
Agora fazemos um truque padrão para derivar a propriedade dos logaritmos para produto. Seja
. Pela definição, isso significa
.
Seja também . Pela definição, isso significa
.
Seja também
Passo 4
Multiplicando as duas igualdades obtidas:
.
Pela regra das potências com a mesma base, . Portanto
.
Pela regra das potências com a mesma base,
Passo 5
Pela definição de logaritmo, a igualdade
implica que
.
Mas lembramos que e
. Substituindo,
.
Mas lembramos que
Passo 6
Observação prática para a prova: a propriedade usada é geral — para quaisquer
e
,
,
desde que a base satisfaça
e
. Um exemplo rápido similar:
.
desde que a base