Translação da origem I. (a) Dado um vetor A qualquer no plano, encontre as equações algébricas de transformação de suas componentes para uma translação arbitrária da origem do sistema de coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado diz: “Temos um vetor qualquer A no plano e queremos saber como mudam as componentes dele se a gente deslocar a origem do sistema de coordenadas de um ponto para outro.”
Matéria: transformação de coordenadas via translação da origem.
O que vamos precisar: entender que vetores livres não mudam de fato, mas suas coordenadas num sistema deslocado se atualizam subtraindo o vetor de translação.

Passo 2

Imagina dois sistemas de coordenadas 𝑂(x,y) e 𝑂′(x′,y′). A gente “puxa” a origem 𝑂 para 𝑂′ por um vetor de translação
d=(h,k),,
ou seja, 𝑂′ está em relação a 𝑂 em x'=x - h , y'=y - k unidades no eixo x e no eixo y.
Teoria usada: quando você desloca a origem, as coordenadas de qualquer ponto obedecem
Isso vale também para um vetor visto como o ponto da sua extremidade.

Passo 3

Aplicando ao vetor Ax' ;=; Ax ;-; h, Ay' ;=; Ay ;-; k com componentes originais Ax ;=; Ax' ;+; h, Ay ;=; Ay' ;+; k , no sistema deslocado temos:
Se em vez disso você quiser voltar do sistema novo para o antigo, basta inverter:

Resposta

As equações de transformação das componentes de boxedAx' = Ax - h , Ay' = Ay - k sob translação da origem são

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