Um trapézio está inscrito em um circulo de raio 1 m e cujo o centro está no interior do trapézio. Sabendo-se que as bases do trapézio são os lados do quadrado e do triângulo equilátero inscritos no círculo, a altura do trapézio, em metros, mede:
a)2√2+1/2
b)√2+2/2
c)√2/2
d)√2+1/2
a)2√2+1/2
b)√2+2/2
c)√2/2
d)√2+1/2
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de geometria envolvendo um trapézio inscrito em um círculo de raio 1 metro. O centro do círculo está dentro do trapézio. As bases desse trapézoide são os lados de um quadrado e de um triângulo equilátero também inscritos no círculo. Nosso objetivo é encontrar a altura desse trapézio. Para resolver isso, vamos precisar entender propriedades de polígonos inscritos em círculos, especialmente quadrados e triângulos equiláteros, além de usar conceitos básicos de geometria como altura e áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um quadrado inscrito em um círculo de raio 1 tem lados com medida $ \sqrt{2} $ metros. Isso porque a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro do círculo, que é $ 2 \times 1 = 2 $ metros. Sabemos que, em um quadrado, a diagonal $ d $ está relacionada ao lado $ l $ por $ d = l\sqrt{2} $. Então, $ l = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $.
Passo 3
Agora, vamos considerar o triângulo equilátero inscrito no mesmo círculo. Em um triângulo equilátero inscrito em um círculo de raio 1, cada lado do triângulo tem comprimento $ \sqrt{3} $ metros. Isso se deve ao fato de que a altura $ h $ do triângulo pode ser encontrada usando a relação $ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times lado $. Sabendo que a altura corresponde ao raio do círculo, temos $ \frac{\sqrt{3}}{2} \times lado = 1 $, portanto, $ lado = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $. Contudo, para simplificar nossos cálculos, continuaremos utilizando $ \sqrt{2} $ como medida referente ao quadrado.
Passo 4
Agora, vamos visualizar o trapézio inscrito no círculo. As bases do trapézio são os lados do quadrado ($ \sqrt{2}
\sqrt{2} $), o que sugere que estamos trabalhando com um trapézio isósceles, já que os lados não paralelos são iguais. A altura do trapézio é a distância perpendicular entre as duas bases.
Passo 5
Para encontrar a altura, podemos usar a relação de que em um trapézio isósceles inscrito em um círculo, a altura pode ser determinada pela diferença das alturas dos polígonos cujas bases formam o trapézio. Sabemos que a altura do quadrado é $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ metros (metade do lado), e a altura do triângulo equilátero é também $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ metros. Portanto, a altura total do trapézio será a soma dessas alturas.
Passo 6
Calculando a altura total:
No entanto, como estamos somando as alturas de dois polígonos diferentes, precisamos considerar a média dessas alturas para encontrar a altura correta do trapézio.
Passo 7
A média das alturas é:
Portanto, a altura do trapézio é $ \frac{\sqrt{2} + 2}{2} $ metros.
Resposta
A altura do trapézio mede $ \frac{\sqrt{2} + 2}{2} $ metros.