O tratamento por diálise remove a ureia e outros produtos residuais do sangue de um paciente, desviando parte do fluxo sanguíneo externamente por uma máquina chamada dialisador. A taxa na qual a ureia é removida do sangue (
) é em geral descrita pela equação
onde
é a taxa de fluxo de sangue pelo dialisador (em mL/
,
é o volume de sangue do paciente (em mL) e
é a quantidade de ureia no sangue (em mg) no instante
. Calcule a integral
e a interprete.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema relacionado ao tratamento de diálise, que é usado para remover a ureia e outros resíduos do sangue de um paciente. A taxa de remoção da ureia é dada pela função:
Aqui,
-
é a taxa de fluxo de sangue pelo dialisador (em mL/min), -
é o volume de sangue do paciente (em mL), -
é a quantidade inicial de ureia no sangue (em mg) no instante .
A questão nos pede para calcular a integral dessa taxa de remoção de ureia no intervalo de 0 a 30 minutos, ou seja:
Isso nos ajudará a entender a quantidade total de ureia removida durante os primeiros 30 minutos de tratamento.
Passo 2
Vamos começar calculando a integral da função
de 0 a 30 minutos. A integral de uma função representa a área sob a curva dessa função no intervalo especificado, que, neste caso, corresponde à quantidade total de ureia removida pelo dialisador nesse período.
A função dada é:
Para integrar
, vamos utilizar a regra de integração para funções exponenciais. A integral de
em relação a
é:
onde
é uma constante e
é a constante de integração.
Passo 3
Aplicando essa regra à nossa função
:
Vamos chamar
para simplificar a expressão:
Substituindo
:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Sabemos que
, então:
Agora, as frações
e
se cancelam:
Resposta
A quantidade total de ureia removida pelo dialisador nos primeiros 30 minutos é: