O tratamento por diálise remove a ureia e outros produtos residuais do sangue de um paciente, desviando parte do fluxo sanguíneo externamente por uma máquina chamada dialisador. A taxa na qual a ureia é removida do sangue ( em mg / min ) é em geral descrita pela equação
u(t)=rV C0 e^-r r / V
onde r é a taxa de fluxo de sangue pelo dialisador (em mL/ min), V é o volume de sangue do paciente (em mL) e C0 é a quantidade de ureia no sangue (em mg) no instante t=0. Calcule a integral integral0^30 u(t) d t e a interprete.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema relacionado ao tratamento de diálise, que é usado para remover a ureia e outros resíduos do sangue de um paciente. A taxa de remoção da ureia é dada pela função:
u(t) = rV C0 e^-r tV
Aqui,
  • integral0^30 u(t) , dt é a taxa de fluxo de sangue pelo dialisador (em mL/min),
  • é o volume de sangue do paciente (em mL),
  • é a quantidade inicial de ureia no sangue (em mg) no instante .
A questão nos pede para calcular a integral dessa taxa de remoção de ureia no intervalo de 0 a 30 minutos, ou seja:
Isso nos ajudará a entender a quantidade total de ureia removida durante os primeiros 30 minutos de tratamento.

Passo 2

Vamos começar calculando a integral da função u(t) = rV C0 e^-r tV de 0 a 30 minutos. A integral de uma função representa a área sob a curva dessa função no intervalo especificado, que, neste caso, corresponde à quantidade total de ureia removida pelo dialisador nesse período.
A função dada é:
integral e^-kt , dt = -1k e^-kt + C
Para integrar , vamos utilizar a regra de integração para funções exponenciais. A integral de em relação a é:
onde é uma constante e é a constante de integração.

Passo 3

Aplicando essa regra à nossa função integral0^30 rV C0 e^-r tV , dt = rV C0 integral0^30 e^-r tV , dt :
= rV C0 [ -1k e^-kt ]0^30
Vamos chamar = rV C0 [ -Vr e^-r tV ]0^30 para simplificar a expressão:
Substituindo :

Passo 4

Simplificando a expressão:
= rV C0 ( -Vr e^-r times 30V + Vr e^0 )
Sabemos que = rV C0 ( -Vr e^-30rV + Vr ) , então:
= C0 ( -e^-30rV + 1 )
Agora, as frações = C0 ( 1 - e^-30rV ) e se cancelam:

Resposta

A quantidade total de ureia removida pelo dialisador nos primeiros 30 minutos é:
C0 ( 1 - e^-30rV ) , mg

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