Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, teria percorrido essa distância em uma hora a menos. Determine a velocidade do trem, em quilômetro por hora.

Passo 1

O enunciado dá que um trem percorre 200 km em certo tempo, digamos t horas, à velocidade constante v km/h. Se aumentássemos sua velocidade em 10 km/h, ele faria o mesmo percurso de 200 km em t-1 hora. Para resolver, usaremos a relação fundamental
\text{distância} = \text{velocidade} \times \text{tempo}â
e faremos álgebra para encontrar v.

Passo 2

Pela definição, o tempo original é
t = \frac{200}{v}.
Se a velocidade fosse v+10, o novo tempo seria
t_{\text{novo}} = \frac{200}{v+10}.

Passo 3

Pela condição do enunciado, esse novo tempo é uma hora a menos que o tempo original, ou seja,
\frac{200}{v+10} = \frac{200}{v} - 1.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por v(v+10) para eliminar denominadores:
200v = 200(v+10) - v(v+10).
Expandindo e simplificando, obtemos
200v = 200v + 2000 - v^2 - 10v \quad\Longrightarrow\quad v^2 + 10v - 2000 = 0.

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Bhaskara à equação
v^2 + 10v - 2000 = 0:
v = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4\cdot1\cdot(-2000)}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 8000}}{2} = \frac{-10 \pm 90}{2}.

Passo 6

As duas raízes são \tfrac{-10+90}{2}=40 e \tfrac{-10-90}{2}=-50. Como velocidade não pode ser negativa, rejeitamos -50 km/h e ficamos com
v = 40\text{ km/h}.

Resposta

A velocidade do trem é 40 km/h.

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