Tres condensadores A, B y C, de 20 , 40 y 60 \mu F, respectivamente se montan: los dos primeros, A y B, en paralelo y este conjunto en serie con el condensador \mathbf{C}. En los extremos de la asociación se establece una diferencia de potencial de 200 V . Calcular:
a) La capacidad equivalente de la asociación.
b) La carga y energía total almacenada.
c) La carga y la tensión de cada condensador.

Passo 1

Voy a dejar claro qué pide el ejercicio y qué datos nos da. Preguntas del enunciado:
a) Calcular la capacidad equivalente de la asociación.
b) Calcular la carga y la energía total almacenada.
c) Calcular la carga y la tensión de cada condensador.
Datos relevantes que da el enunciado:
C_A=20\,\mu\text{F}
C_B=40\,\mu\text{F}
C_C=60\,\mu\text{F}
Los condensadores A y B están en paralelo; ese conjunto está en serie con C.
Diferencia de potencial total aplicada entre los extremos de la asociación: V_{\text{total}}=200\,\text{V}.

Passo 2

Concepto útil 1 — condensadores en paralelo:
  • Regla: las capacitancias se suman directamente.
  • Fórmula general: C_{\text{par}}=C_1+C_2+\cdots
  • Razón física sencilla: en paralelo todos tienen la misma diferencia de potencial V, y la carga total es la suma de las cargas de cada uno, Q_{\text{tot}}=Q_1+Q_2=\!C_1V+C_2V=(C_1+C_2)V, por eso la equivalente suma.
Concepto útil 2 — condensadores en serie:
  • Regla: las recíprocas se suman: \frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots
  • Razón física: en serie la carga Q es la misma en todos y las tensiones se suman, V_{\text{tot}}=V_1+V_2=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}=Q\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right). De ahí Q/V_{\text{tot}}=1/(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}), que define C_{\text{eq}}.
Concepto útil 3 — carga y energía:
  • Carga en un condensador: Q=C\,V donde Q en coulombs, C en faradios y V en voltios.
  • Energía almacenada: U=\tfrac{1}{2}C V^2 (también se puede usar U=\tfrac{Q^2}{2C} o U=\tfrac{1}{2}QV).

Passo 3

Aplicamos la regla de paralelo a A y B:
C_{AB}=C_A+C_B=20\,\mu\text{F}+40\,\mu\text{F}=60\,\mu\text{F}.
Comentario práctico: uso directamente \mu\text{F} porque multiplicar por V dará \mu\text{C}, lo cual es conveniente para las cargas.

Passo 4

Ahora la asociación C_{AB} está en serie con C_C. Usamos la fórmula de series para dos capacitores:
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_{AB}}+\frac{1}{C_C}.
Sustituimos los valores numéricos en \mu\text{F}:
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{60\,\mu\text{F}}+\frac{1}{60\,\mu\text{F}}=\frac{2}{60\,\mu\text{F}}=\frac{1}{30\,\mu\text{F}}.
Por tanto
C_{\text{eq}}=30\,\mu\text{F}.

Passo 5

Cálculo de la carga total almacenada en la asociación (más didáctico si lo hacemos en \muunidades):
Regla: Q_{\text{total}}=C_{\text{eq}}\,V_{\text{total}}. Como 1\,\mu\text{F}\cdot 1\,\text{V}=1\,\mu\text{C}, es directo:
Q_{\text{total}}=30\,\mu\text{F}\times 200\,\text{V}=6000\,\mu\text{C}=6\,\text{mC}.
Cálculo de la energía total: usamos U_{\text{total}}=\tfrac{1}{2}C_{\text{eq}}V_{\text{total}}^2. Conviene usar faradios para la cuenta o mantener la lógica:
C_{\text{eq}}=30\times 10^{-6}\,\text{F},\quad V_{\text{total}}^2=200^2=40000.
U_{\text{total}}=\tfrac{1}{2}\cdot 30\times 10^{-6}\,\text{F}\cdot 40000\,\text{V}^2 =\tfrac{1}{2}\cdot(30\times 40000)\times 10^{-6} =\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}2 =0{,}6\,\text{J}.
(Otra forma rápida: \tfrac{1}{2}\cdot 30\,\mu\text{F}\cdot(200\,\text{V})^2 conduce al mismo resultado.)

Passo 6

Determinar cargas y tensiones en cada rama: en la serie la carga que pasa por ambos elementos es la misma y vale Q_{\text{total}}. Por tanto la carga en C_C es
Q_C=Q_{\text{total}}=6000\,\mu\text{C}.
La tensión en C_C viene de V=\dfrac{Q}{C}:
V_C=\frac{Q_C}{C_C}=\frac{6000\,\mu\text{C}}{60\,\mu\text{F}}=100\,\text{V}.
Como la suma de tensiones en la serie debe ser 200\,\text{V}, la tensión en el conjunto AB es
V_{AB}=V_{\text{total}}-V_C=200\,\text{V}-100\,\text{V}=100\,\text{V}.

Passo 7

Dentro del paralelo A y B cada uno tiene la misma tensión V_{AB}=100\,\text{V}. Por tanto las cargas son (usando Q=C\,V):
Q_A=C_A\,V_{AB}=20\,\mu\text{F}\times 100\,\text{V}=2000\,\mu\text{C}=2\,\text{mC},
Q_B=C_B\,V_{AB}=40\,\mu\text{F}\times 100\,\text{V}=4000\,\mu\text{C}=4\,\text{mC}.
Verificación rápida: Q_A+Q_B=2000\,\mu\text{C}+4000\,\mu\text{C}=6000\,\mu\text{C}=Q_{AB}=Q_{\text{total}}, coherente.

Passo 8

Energías en cada condensador (fórmula U=\tfrac{1}{2}CV^2):
Para A:
U_A=\tfrac{1}{2}C_A V_A^2=\tfrac{1}{2}\cdot 20\times10^{-6}\,\text{F}\cdot (100\,\text{V})^2 =0{,}1\,\text{J}.
Para B:
U_B=\tfrac{1}{2}\cdot 40\times10^{-6}\,\text{F}\cdot 100^2 =0{,}2\,\text{J}.
Para C:
U_C=\tfrac{1}{2}\cdot 60\times10^{-6}\,\text{F}\cdot 100^2 =0{,}3\,\text{J}.
Suma: U_A+U_B+U_C=0{,}1+0{,}2+0{,}3=0{,}6\,\text{J}=U_{\text{total}}, consistente.

Passo 9

Resumen numérico final (ya están todos los números calculados y verificados): hemos encontrado la capacidad equivalente, la carga total, la energía total y la carga y tensión en cada condensador. Buen trabajo: todo cuadra y las verificaciones de suma están correctas (por ejemplo, las tensiones en serie suman 200 V y las cargas en paralelo suman la carga del equivalente).

Resposta

(a) C_{\text{eq}}=30\,\mu\text{F}
(b) Q_{\text{total}}=6000\,\mu\text{C}=6\,\text{mC}
U_{\text{total}}=0{,}6\,\text{J}
(c) Q_A=2000\,\mu\text{C}=2\,\text{mC},\;V_A=100\,\text{V}
Q_B=4000\,\mu\text{C}=4\,\text{mC},\;V_B=100\,\text{V}
Q_C=6000\,\mu\text{C}=6\,\text{mC},\;V_C=100\,\text{V}

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