Três corpos A, B e C, inicialmente bem afastados entre si, são sucessivamente aproximados dois a dois, mas sem haver contato. Determine quais dos relatos a seguir são possíveis, e nesse caso o que se pode concluir sobre cada corpo. Obs: considere que as interações existentes são de natureza elétrica (nem magnéticas nem gravitacionais).
(a) A e B se repelem, A e C se repelem, B e C se repelem;

Passo 1

O enunciado dá o seguinte (tudo isso é tirado literalmente do problema):
  • Existem três corpos A, B e C, inicialmente muito afastados entre si.
  • Eles são aproximados dois a dois, sem contato, e observou‑se:
    • A e B se repelem;
    • A e C se repelem;
    • B e C se repelem.
  • A pergunta: esses relatos são possíveis? Se sim, o que podemos concluir sobre cada corpo?

Passo 2

Conceito chave que vou usar (explicado devagar):
  • Forças elétricas entre corpos carregados, em regime onde a distância é grande o suficiente para que o termo de carga total (monopolo) domine, obedecem à regra de sinais: corpos com cargas de mesmo sinal se repelem; com sinais opostos se atraem.
  • Escrevendo as cargas dos corpos como \,q_A,\;q_B,\;q_C\,, a condição de repulsão entre dois corpos X e Y corresponde a
q_X q_Y > 0.
Aqui:
  • q_X é o valor algébrico da carga do corpo X (positiva ou negativa);
  • o produto q_X q_Y sendo positivo indica que os sinais são iguais (ambos positivos ou ambos negativos).
  • Outra ideia importante: um corpo neutro (carga total zero) polarizável é sempre atraído por um corpo carregado (indução), nunca repelido quando a distância é grande o bastante para que a monopolaridade seja relevante. Em particular, um corpo neutro não pode provocar repulsão de um corpo carregado numa situação em que as aproximações monopolares valem.

Passo 3

Aplicando as condições observadas:
  • A e B se repelem implica
q_A q_B > 0.
  • A e C se repelem implica
q_A q_C > 0.
  • B e C se repelem implica
q_B q_C > 0.

Passo 4

Raciocínio com sinais a partir das desigualdades:
  • Das duas primeiras desigualdades, q_A q_B>0 e q_A q_C>0, podemos dividir membro a membro (ou simplesmente raciocinar sobre sinais): como q_A tem um sinal fixo, para que seus produtos com q_B e q_C sejam ambos positivos, q_B e q_C devem ter o mesmo sinal que q_A.
  • Assim q_A,\;q_B,\;q_C têm todos o mesmo sinal. Isto também satisfaz a terceira desigualdade q_B q_C>0.
  • Além disso, nenhuma das cargas pode ser zero. Se, por exemplo, q_C=0, então A e C não poderiam se repelir (um corpo neutro é atraído por um corpo carregado por efeito de indução), contradizendo a observação.

Passo 5

Interpretação física e conclusão prática (didática e calma):
  • O único arranjo possível compatível com as três repulsões é que todos os três corpos estejam carregados e que todas as cargas tenham o mesmo sinal. Em palavras: ou todos são positivos ( q_A>0,\;q_B>0,\;q_C>0) ou todos são negativos ( q_A<0,\;q_B<0,\;q_C<0).
  • Não é possível, nas condições descritas (corpos bem afastados inicialmente, aproximação sem contato), que algum corpo seja neutro ou que haja sinais diferentes entre quaisquer dois corpos.
  • Não se pode determinar os valores numéricos das cargas, apenas os sinais relativos (todos iguais). Também não se pode, apenas com essas observações, dizer se são todos positivos ou todos negativos — só que os sinais são iguais.

Resposta

(a) Possível. Conclusão: q_A,\;q_B,\;q_C são todos não nulos e têm o mesmo sinal (ou todos positivos ou todos negativos).

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