Três corpos A, B e C, inicialmente bem afastados entre si, são sucessivamente aproximados dois a dois, mas sem haver contato. Determine quais dos relatos a seguir são possíveis, e nesse caso o que se pode concluir sobre cada corpo. Obs: considere que as interações existentes são de natureza elétrica (nem magnéticas nem gravitacionais).
(b) A e B se atraem, A e C se atraem, B e C se atraem;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há três corpos A, B e C, inicialmente bem afastados (isso significa que cada um tem uma carga elétrica fixa inicial — que pode ser positiva, negativa ou nula).
  • As únicas interações possíveis são elétricas (sem gravitacionais nem magnéticas).
  • No relato (b) temos: A e B se atraem; A e C se atraem; B e C se atraem.
O que o problema pede:
  • Determinar se esse padrão de atrações é possível.
  • Se for possível, dizer o que se pode concluir sobre a carga (ou neutralidade) de cada corpo.

Passo 2

Relembrando conceitos básicos úteis (pequena aula):
  • A força eletrostática entre duas cargas pontuais q_1 e q_2 é dada pela lei de Coulomb:
\vec{F} = k\frac{q_1 q_2}{r^2}\hat{r},
onde k>0, r é a distância e \hat{r} é a direção. O sinal de q_1 q_2 determina se a força é de repulsão ( q_1 q_2>0) ou atração ( q_1 q_2<0).
  • Se um dos corpos é eletricamente neutro (carga líquida zero), ele pode ainda assim ser atraído por um corpo carregado por indução: o campo do corpo carregado polariza o neutro e produz uma força de atração (isso vale tanto para condutores quanto para dielétricos polaresizáveis).
  • Duas partículas neutras também podem apresentar atração (por ex. forças de dispersão de London, ou indução mútua). Para propósitos deste problema, podemos considerar que corpos neutros podem atrair outros neutros e atraem corpos carregados.
Em linguagem curta: atração entre dois corpos pode ocorrer por (A) cargas de sinais opostos, ou (B) efeito de indução/polarização quando pelo menos um dos corpos é neutro/polarizável.

Passo 3

Análise do caso em que todos os três têm carga elétrica não nula (nenhum neutro).
  • Suponha que q_A, q_B, q_C sejam as cargas (não nulas). Para haver atração entre A e B precisamos de q_A q_B<0. Analogamente, atração A- C exige q_A q_C<0 e atração B- C exige q_B q_C<0.
  • Multiplicando as três desigualdades obtemos
(q_A q_B)(q_A q_C)(q_B q_C) < 0.
O lado esquerdo é igual a q_A^2 q_B^2 q_C^2, que é estritamente positivo (produto de quadrados de números reais não nulos). Logo obtemos uma contradição: um número positivo não pode ser menor que zero.
  • Conclusão imediata: é impossível que os três corpos tenham cargas elétricas não nulas e que todas as três pares se atraiam. Em outras palavras, não se pode ter os três corpos com cargas de sinais definidos (não nulos) obedecendo ao padrão “cada par atrai”.

Passo 4

Portanto, para que os três pares se atraiam, pelo menos um dos corpos deve ser eletricamente neutro (carga líquida zero), de modo que a atração em pelo menos uma das pares venha por polarização/indução em vez de por produto de sinais opostos.

Passo 5

Enumerando as possibilidades compatíveis com “todos os pares se atraem” e o que se pode concluir em cada caso:
  • Caso 1 — Todos neutros: q_A=0, q_B=0, q_C=0.
    • Dois corpos neutros podem atrair-se por forças de indução/dispersion. Então é possível que os três sejam neutros; consequência: nenhum possui carga líquida.
  • Caso 2 — Exatamente um neutro, outros dois com cargas opostas: por exemplo q_C=0, q_A>0, q_B<0.
    • A e B se atraem porque têm sinais opostos.
    • A atrai C e B atrai C por indução (carregado–neutro atraem).
    • Conclusão: se apenas um é neutro, os outros dois necessariamente têm sinais opostos.
  • Caso 3 — Exatamente dois neutros e um carregado: por exemplo q_A\neq 0, q_B=0, q_C=0.
    • O corpo carregado atrai cada neutro (indução) e os dois neutros podem atrair-se entre si. Assim, todas as três atrações ocorrem.
    • Conclusão: possível; identifica-se pelo menos um corpo com carga (o único carregado) e dois neutros.
  • Nenhuma outra configuração com cargas não nulas em todos os três é possível (já provado no Passo 3).

Passo 6

Exemplos numéricos simples para fixar a intuição:
  • Exemplo A (todos neutros): q_A=q_B=q_C=0. Mesmo sem carga líquida, aproximação produz polarização local e atração fraca entre cada par.
  • Exemplo B (um neutro, dois com sinais opostos): q_A=+1, q_B=-1, q_C=0. Então A- B atraem (opostos) e A- C, B- C atraem por indução.
  • Exemplo C (dois neutros, um carregado): q_A=+1, q_B=0, q_C=0. Aqui A- B e A- C atraem (carregado–neutro) e B- C também podem atrair (neutro–neutro).

Passo 7

O que não se pode determinar unicamente:
  • A observação “todos se atraem” não permite distinguir entre as subcasos acima sem informação adicional (por ex. medir a força a distâncias diferentes, ou levar dois deles a um eletroscópio).
  • Em particular, não se pode afirmar que existe uma carga positiva ou negativa específica em um corpo apenas a partir do padrão “todos atraem”; só se pode afirmar relações do tipo “pelo menos um é neutro” ou “se apenas um for neutro, os outros dois têm sinais opostos”.

Resposta

É possível. Conclusões: pelo menos um dos corpos é eletricamente neutro. Não é possível que os três tenham cargas não nulas. As configurações compatíveis são:
  1. todos os três neutros;
  2. exatamente um neutro e os outros dois com cargas de sinais opostos;
  3. exatamente dois neutros e um carregado.

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