Três fábricas produzem o mesmo modelo de fogão para ao mercado. A fábrica A produz 30 % dos fogões e os restantes 70 % são produzidas nas fábricas B e C. O 98 % das fogões produzidas na fábrica A, o 95 % dos fogões produzidas na fábrica. B e 97 % do resto produzidos na fábrica C não apresentam defeito. Qual a percentagem dos fogões das fábricas B e C se devem produzir para que um fogão escolhido aleatoriamente tenha uma probabilidade de não ser defeituosa igual a 96 %?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve porcentagens e probabilidade sobre a produção de fogões. A gente vai precisar usar conceitos de porcentagem e probabilidade para descobrir como dividir a produção entre as fábricas B e C de forma que a probabilidade de um fogão escolhido aleatoriamente não ser defeituoso seja de 96%.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição atual da produção. A fábrica A produz 30% dos fogões, e as fábricas B e C juntas produzem os outros 70%. Sabemos que:
  • Na fábrica A, 98% dos fogões são não defeituosos.
  • Na fábrica B, 95% são não defeituosos.
  • Na fábrica C, 97% são não defeituosos.
Queremos que, quando combinarmos tudo, a probabilidade de um fogão não ser defeituoso seja 96%.

Passo 3

Vamos chamar a porcentagem da produção da fábrica B dentro dos 70% de “x”. Então, a porcentagem da fábrica C será “70% - x”.

Passo 4

Agora, vamos calcular a contribuição de cada fábrica para a porcentagem total de fogões não defeituosos.
  • Fábrica A: $ 30% \times 98% = 0.30 \times 0.98 = 0.294 $ ou 29.4%
  • Fábrica B: $ x \times 95% = x \times 0.95 $
  • Fábrica C: $ (70% - x) \times 97% = (0.70 - x) \times 0.97 $

Passo 5

Somando as contribuições das três fábricas, queremos que o total seja 96%. Então, a equação fica:
0.294 + 0.95x + 0.679 - 0.97x = 0.96

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
0.294 + 0.679 + (0.95x - 0.97x) = 0.96
0.973 - 0.02x = 0.96

Passo 7

Agora, isolamos “x”:
0.973 - 0.96 = 0.02x
0.013 = 0.02x
x = 0.0130.02 = 0.65
Então, $ x = 65% $

Resposta

A fábrica B deve produzir 65% dos fogões e a fábrica C deve produzir 5% dos fogões para que a probabilidade de um fogão escolhido aleatoriamente não seja defeituoso seja de 96%.

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