• Três moedas são jogadas simultaneamente.
    (a) Qual é a probabilidade de obter \mathbf{2} caras?
    (b) Qual é a probabilidade de obter pelo menos 2 caras?

Passo 1

O enunciado nos diz que três moedas são lançadas ao mesmo tempo. As perguntas são:
(a) Qual é a probabilidade de obter exatamente \mathbf{2} caras?
(b) Qual é a probabilidade de obter pelo menos 2 caras?
Informações relevantes dadas ou assumidas:
  • 3 moedas lançadas simultaneamente.
  • Cada moeda tem dois resultados possíveis: cara (C) ou coroa (K).
  • Assumir que as moedas são justas (isto é, a probabilidade de cara em cada lançamento é \tfrac{1}{2}), a menos que o enunciado diga o contrário.
  • Os lançamentos são independentes (o resultado de uma moeda não afeta as outras).

Passo 2

Escolha do método de resolução e ideia geral (sem calcular ainda).
Duas maneiras simples e equivalentes para este problema:
  1. Contagem direta do espaço amostral (listar todos os resultados possíveis e contar os favoráveis).
  2. Usar a fórmula da distribuição binomial (que é a maneira padrão para contar sucessos em n ensaios independentes com mesma probabilidade).
Vou usar ambas as abordagens porque são curtas aqui e ajudam a entender bem. A contagem direta é mais elementar (só listar), e a fórmula binomial dá uma regra geral que funciona quando o número de moedas (ou ensaios) é maior.

Passo 3

Noção básica: espaço amostral, equiprobabilidade e tamanho do espaço.
Cada moeda tem 2 resultados possíveis. Com 3 moedas independentes, o número total de resultados possíveis é
2^3 = 8.
Esses 8 resultados são todos igualmente prováveis (cada sequência de caras/coroas tem probabilidade \left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}). Podemos listar os resultados para visualizar:
\text{CCC, CCK, CKC, KCC, CKK, KCK, KKC, KKK},
onde C = cara e K = coroa.

Passo 4

Resolver (a) pelo método de enumeração (listar) — exatamente 2 caras.
Procuramos as sequências com exatamente duas Cs. Das listas acima, são:
\text{CCK, CKC, KCC}.
3 resultados favoráveis, cada um com probabilidade \tfrac{1}{8}. Logo, a probabilidade é
\frac{3}{8}.
Explicação alternativa (fórmula de combinações): contar de quantas maneiras podemos escolher quais 2 das 3 moedas dão cara. Isso é
\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!\,1!}=\frac{3\cdot2\cdot1}{(2\cdot1)\cdot1}=3.
Cada escolha tem probabilidade \left(\tfrac{1}{2}\right)^2\left(\tfrac{1}{2}\right)^1=\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}. Multiplicando,
\binom{3}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=3\cdot\tfrac{1}{8}=\tfrac{3}{8},
confirma o mesmo resultado.

Passo 5

Resolver (b) — probabilidade de obter pelo menos 2 caras.
“Pelo menos 2 caras” significa 2 ou 3 caras. Então
P(\text{pelo menos }2)=P(\text{exatamente }2)+P(\text{exatamente }3).
Já temos P(\text{exatamente }2)=\tfrac{3}{8}.
Agora P(\text{exatamente }3) corresponde ao único resultado \text{CCC}, que tem probabilidade \tfrac{1}{8}. Portanto
P(\text{pelo menos }2)=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.
Também é possível ver isso direto: as quatro sequências com pelo menos duas caras são \text{CCC, CCK, CKC, KCC}, ou seja 4 de 8 resultados.

Resposta

\dfrac{3}{8}
\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados