- Três moedas são jogadas simultaneamente.
(a) Qual é a probabilidade de obter
caras?
(b) Qual é a probabilidade de obter pelo menos 2 caras?
(a) Qual é a probabilidade de obter
(b) Qual é a probabilidade de obter pelo menos 2 caras?
Passo 1
O enunciado nos diz que três moedas são lançadas ao mesmo tempo. As perguntas são:
(a) Qual é a probabilidade de obter exatamente caras?
(b) Qual é a probabilidade de obter pelo menos 2 caras?
(a) Qual é a probabilidade de obter exatamente
(b) Qual é a probabilidade de obter pelo menos 2 caras?
Informações relevantes dadas ou assumidas:
- Há
moedas lançadas simultaneamente. - Cada moeda tem dois resultados possíveis: cara (C) ou coroa (K).
- Assumir que as moedas são justas (isto é, a probabilidade de cara em cada lançamento é
), a menos que o enunciado diga o contrário. - Os lançamentos são independentes (o resultado de uma moeda não afeta as outras).
Passo 2
Escolha do método de resolução e ideia geral (sem calcular ainda).
Duas maneiras simples e equivalentes para este problema:
- Contagem direta do espaço amostral (listar todos os resultados possíveis e contar os favoráveis).
- Usar a fórmula da distribuição binomial (que é a maneira padrão para contar sucessos em
ensaios independentes com mesma probabilidade).
Vou usar ambas as abordagens porque são curtas aqui e ajudam a entender bem. A contagem direta é mais elementar (só listar), e a fórmula binomial dá uma regra geral que funciona quando o número de moedas (ou ensaios) é maior.
Passo 3
Noção básica: espaço amostral, equiprobabilidade e tamanho do espaço.
Cada moeda tem
resultados possíveis. Com
moedas independentes, o número total de resultados possíveis é
Esses
resultados são todos igualmente prováveis (cada sequência de caras/coroas tem probabilidade
). Podemos listar os resultados para visualizar:
onde
C = cara e K = coroa.Passo 4
Resolver (a) pelo método de enumeração (listar) — exatamente
caras.
Procuramos as sequências com exatamente duas
Cs. Das listas acima, são:Há
resultados favoráveis, cada um com probabilidade
. Logo, a probabilidade é
Explicação alternativa (fórmula de combinações): contar de quantas maneiras podemos escolher quais
das
moedas dão cara. Isso é
Cada escolha tem probabilidade
. Multiplicando,
confirma o mesmo resultado.
Passo 5
Resolver (b) — probabilidade de obter pelo menos
caras.
“Pelo menos
caras” significa
ou
caras. Então
Já temos
.
Agora
corresponde ao único resultado
, que tem probabilidade
. Portanto
Também é possível ver isso direto: as quatro sequências com pelo menos duas caras são
, ou seja
de
resultados.