Três ondas transversais propagam-se ao longo de uma corda muito comprida. Suas equações são dadas por:
(Unidades no SI) Determine a expressão da onda resultante, formada pela superposição de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem três ondas transversais que estão se movendo ao longo de uma corda bem comprida. As equações delas são:
Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a onda resultante quando essas três ondas se juntam, ou seja, quando somamos elas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre superposição de ondas e como somar ondas que têm a mesma frequência e comprimento de onda, mas diferentes amplitudes e fases.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que todas as três ondas têm a mesma parte dentro do seno:
. Isso significa que elas estão oscilando na mesma frequência e têm o mesmo comprimento de onda. A diferença está nas amplitudes e nas fases das ondas.
Quando ondas têm a mesma frequência e comprimento de onda, mas diferentes amplitudes e fases, podemos usar a técnica de adição de fasores para encontrar a onda resultante.
Passo 3
Um fasor é uma representação gráfica das ondas que nos ajuda a somar as amplitudes levando em consideração suas fases. Vamos representar cada onda como um vetor (ou flecha) no plano complexo, onde a magnitude do vetor é a amplitude da onda e o ângulo do vetor é a fase da onda.
Vamos transformar cada uma das ondas
,
e
em fasores:
-
Fasor de
: -
Fasor de
: -
Fasor de
:
Passo 4
Agora, vamos somar esses fasores para encontrar a amplitude e a fase da onda resultante
:
Vamos calcular cada componente:
-
Componentes Reais e Imaginárias:
-
-
Somando as Componentes:
Passo 5
Agora, vamos converter o fasor resultante
de volta para a forma de seno para encontrar a onda resultante
.
Primeiro, calculamos a amplitude
e a fase
do fasor:
Resposta
A onda resultante, formada pela superposição de
,
e
, é dada por: