Três ondas transversais propagam-se ao longo de uma corda muito comprida. Suas equações são dadas por:
& y1=0,020 sin (0,040 pi x-3,0 pi t) & y2=0,040 sin (0,040 pi x-3,0 pi t+pi / 3) & y1=0,020 sin (0,040 pi x-3,0 pi t+4 pi / 3)
(Unidades no SI) Determine a expressão da onda resultante, formada pela superposição de y1, y2 e y3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem três ondas transversais que estão se movendo ao longo de uma corda bem comprida. As equações delas são:
& y1=0,020 sin (0,040 pi x - 3,0 pi t) & y2=0,040 sin (0,040 pi x - 3,0 pi t + pi / 3) & y3=0,020 sin (0,040 pi x - 3,0 pi t + 4 pi / 3)
Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a onda resultante quando essas três ondas se juntam, ou seja, quando somamos elas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre superposição de ondas e como somar ondas que têm a mesma frequência e comprimento de onda, mas diferentes amplitudes e fases.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que todas as três ondas têm a mesma parte dentro do seno: . Isso significa que elas estão oscilando na mesma frequência e têm o mesmo comprimento de onda. A diferença está nas amplitudes e nas fases das ondas.
Quando ondas têm a mesma frequência e comprimento de onda, mas diferentes amplitudes e fases, podemos usar a técnica de adição de fasores para encontrar a onda resultante.

Passo 3

Um fasor é uma representação gráfica das ondas que nos ajuda a somar as amplitudes levando em consideração suas fases. Vamos representar cada onda como um vetor (ou flecha) no plano complexo, onde a magnitude do vetor é a amplitude da onda e o ângulo do vetor é a fase da onda.
Vamos transformar cada uma das ondas Y1 = 0,020 ang<= 0 = 0,020 , Y2 = 0,040 ang<= pi3 e Y3 = 0,020 ang<= 4pi3 em fasores:
  • Fasor de :
  • Fasor de :
  • Fasor de :

Passo 4

Agora, vamos somar esses fasores para encontrar a amplitude e a fase da onda resultante Y = Y1 + Y2 + Y3 :
= 0,040 times 0,5 + j cdot 0,040 times raiz32 = 0,020 + j cdot 0,0346
Vamos calcular cada componente:
  1. Componentes Reais e Imaginárias:
    • = 0,020 times (-0,5) + j cdot 0,020 times (-raiz32) = -0,010 + j cdot (-0,0173)
    • Y = (0,020 + 0,020 - 0,010) + j cdot (0 + 0,0346 - 0,0173) = 0,030 + j cdot 0,0173
  2. Somando as Componentes:

Passo 5

Agora, vamos converter o fasor resultante A = raiz(0,030)^2 + (0,0173)^2 approx 0,034 de volta para a forma de seno para encontrar a onda resultante phi = arctan(0,01730,030) approx 0,52 radianos .
Primeiro, calculamos a amplitude e a fase do fasor:

Resposta

A onda resultante, formada pela superposição de y = 0,034 sin (0,040 pi x - 3,0 pi t + 0,52, rad) , e , é dada por:

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