Três pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, dessa população. Qual é a probabilidade de:
iv. no máximo uma ser daltônica.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão que temos aqui é sobre probabilidade. Precisamos encontrar a probabilidade de, ao selecionar três pessoas aleatoriamente (com reposição) de uma população, no máximo uma delas ser daltônica (ou seja, ter daltonismo). Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica e distribuição binomial. Vamos precisar saber a probabilidade de uma pessoa ser daltônica e aplicar fórmulas de combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “no máximo uma ser daltônica”. Isso quer dizer que pode ter zero ou uma pessoa daltônica nas três selecionadas. Vamos calcular essas duas probabilidades separadamente e depois somá-las.

Passo 3

Vamos supor que a probabilidade de uma pessoa ser daltônica seja $ p $. Como estamos selecionando com reposição, cada seleção é independente. Então, a probabilidade de uma pessoa não ser daltônica é $ 1 - p $.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de nenhuma das três pessoas ser daltônica. Isso significa que todas as três não são daltônicas. Como as seleções são independentes, multiplicamos as probabilidades:
P(0) = (1 - p) times (1 - p) times (1 - p) = (1 - p)^3

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de uma das três pessoas ser daltônica. Para isso, escolhemos qual das três será a daltônica e as outras duas não serão. Há $ 3 $ maneiras de escolher qual pessoa será daltônica. Então, a probabilidade é:
3

Passo 6

Finalmente, para encontrar a probabilidade de no máximo uma pessoa ser daltônica, somamos as duas probabilidades que calculamos:
P(no máximo uma) = P(0) + P(1) = (1 - p)^3 + 3p(1 - p)^2 á

Resposta

A probabilidade de, ao selecionar três pessoas com reposição, no máximo uma ser daltônica é:
P = (1 - p)^3 + 3p(1 - p)^2

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