Três superfícies planas infinitas e carregadas localizam-se, no vácuo, da seguinte maneira:
. Determine o campo
nos pontos:
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, temos três planos infinitos carregados no vácuo:
σ₁ = 2 µC/m² em x = –3
σ₂ = –5 µC/m² em x = 1
σ₃ = 4 µC/m² em x = 5
A questão pede o campo elétrico nos pontos
(a) (0,0,0)
(b) (2,5; –1,6; 4,7)
© (8; –2; –5)
(d) (–3,1; 0; 3,1)
Conteúdo: E de superfícies infinitas e superposição. Vamos precisar da expressão do campo de uma lâmina infinita e depois somar as contribuições de cada plano.
σ₁ = 2 µC/m² em x = –3
σ₂ = –5 µC/m² em x = 1
σ₃ = 4 µC/m² em x = 5
A questão pede o campo elétrico nos pontos
(a) (0,0,0)
(b) (2,5; –1,6; 4,7)
© (8; –2; –5)
(d) (–3,1; 0; 3,1)
Conteúdo: E de superfícies infinitas e superposição. Vamos precisar da expressão do campo de uma lâmina infinita e depois somar as contribuições de cada plano.
Passo 2
Teoria: para uma folha infinita de densidade σ, pelo teorema de Gauss o campo é
onde
aponta para fora da folha (se σ > 0, o campo fica para o lado positivo de
). O módulo não depende da distância.
Passo 3
Pela superposição, a contribuição do plano
em um ponto de coordenada
é
com
Logo o campo total é
Passo 4
Agora, para cada ponto só importa a coordenada
. Vamos achar
e somar os σ’s:
(a) x = 0 ∈ (–3,1),
sgn(0+3)=+1, sgn(0–1)=–1, sgn(0–5)=–1
⇒ soma interna = .
sgn(0+3)=+1, sgn(0–1)=–1, sgn(0–5)=–1
⇒ soma interna =
(b) x = 2,5 ∈ (1,5),
sgn(2,5+3)=+1, sgn(2,5–1)=+1, sgn(2,5–5)=–1
⇒ soma = .
sgn(2,5+3)=+1, sgn(2,5–1)=+1, sgn(2,5–5)=–1
⇒ soma =
© x = 8 >5,
sgns todos +1
⇒ soma = .
sgns todos +1
⇒ soma =
(d) x = –3,1 < –3,
sgn(–3,1+3)=–1, sgn(–3,1–1)=–1, sgn(–3,1–5)=–1
⇒ soma = .
sgn(–3,1+3)=–1, sgn(–3,1–1)=–1, sgn(–3,1–5)=–1
⇒ soma =
Passo 5
Agora basta multiplicar por
.
Como e cada σ está em µC/m², usamos
Como
Logo os resultados (apenas componente
) são:
(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)