Três superfícies planas infinitas e carregadas localizam-se, no vácuo, da seguinte maneira: 2 mu C / m^2 em x=-3,-5 mu C / m^2 em x=1 e 4 mu C / m^2 em x=5. Determine o campo E nos pontos:
(a) (0 ; 0 ; 0);
(b) (2,5 ;-1,6 ; 4,7);
© (8 ;-2 ;-5);
(d) (-3,1 ; 0 ; 3,1).

Passo 1

Beleza, temos três planos infinitos carregados no vácuo:
σ₁ = 2 µC/m² em x = –3
σ₂ = –5 µC/m² em x = 1
σ₃ = 4 µC/m² em x = 5
A questão pede o campo elétrico nos pontos
(a) (0,0,0)
(b) (2,5; –1,6; 4,7)
© (8; –2; –5)
(d) (–3,1; 0; 3,1)
Conteúdo: E de superfícies infinitas e superposição. Vamos precisar da expressão do campo de uma lâmina infinita e depois somar as contribuições de cada plano.

Passo 2

Teoria: para uma folha infinita de densidade σ, pelo teorema de Gauss o campo é
E = sigma2varepsilon0,hat n
onde aponta para fora da folha (se σ > 0, o campo fica para o lado positivo de ). O módulo não depende da distância.

Passo 3

Pela superposição, a contribuição do plano Ei(x) = sigmai2varepsilon0,sgn(x - xi),hat x em um ponto de coordenada sgn(u)= +1,&u>0, -1,&u<0 é
E(x) = sumi=1^3 Ei(x) = 12varepsilon0 [sigma1,sgn(x+3) +sigma2,sgn(x-1) +sigma3,sgn(x-5)]hat x
com
Logo o campo total é

Passo 4

Agora, para cada ponto só importa a coordenada . Vamos achar e somar os σ’s:
(a) x = 0 ∈ (–3,1),
sgn(0+3)=+1, sgn(0–1)=–1, sgn(0–5)=–1
⇒ soma interna = .
(b) x = 2,5 ∈ (1,5),
sgn(2,5+3)=+1, sgn(2,5–1)=+1, sgn(2,5–5)=–1
⇒ soma = .
© x = 8 >5,
sgns todos +1
⇒ soma = .
(d) x = –3,1 < –3,
sgn(–3,1+3)=–1, sgn(–3,1–1)=–1, sgn(–3,1–5)=–1
⇒ soma = .

Passo 5

Agora basta multiplicar por 1,mu C2varepsilon0 approx5,65times10^4,V/m .
Como e cada σ está em µC/m², usamos
Logo os resultados (apenas componente ) são:
(a)
(b)
©
(d)

Resposta

E(0,0,0)&=+1,695times10^5,hat x V/m, E(2,5,-1,6,4,7)&=-3,955times10^5,hat x V/m, E(8,-2,-5)&=+5,65times10^4,hat x V/m, E(-3,1,0,3,1)&=-5,65times10^4,hat x V/m

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