Três vetores (\mathbf{A}, \mathbf{B}) e \mathbf{C}, com 5 unidades cada um, estão respectivamente inclina operatorname{dos}: 60^{\circ}, 180^{\circ} e 300^{\circ}. Determine:
\mathbf{A}-\mathbf{B}+\mathbf{C};

Passo 1

O enunciado diz que temos três vetores \mathbf{A}, \mathbf{B} e \mathbf{C}, todos com módulo 5 e com direções (medidas a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário) iguais a 60^\circ, 180^\circ e 300^\circ, respectivamente. A pergunta é calcular o vetor
\mathbf{A}-\mathbf{B}+\mathbf{C}.
Lista de informações relevantes:
  • |\mathbf{A}|=5 e direção \theta_A=60^\circ.
  • |\mathbf{B}|=5 e direção \theta_B=180^\circ.
  • |\mathbf{C}|=5 e direção \theta_C=300^\circ.
  • Queremos o vetor resultante \mathbf{A}-\mathbf{B}+\mathbf{C}.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): um vetor no plano pode ser expresso por suas componentes x e y. Se um vetor \mathbf{V} tem módulo |\mathbf{V}| e faz ângulo \theta com o eixo x positivo, suas componentes são
V_x = |\mathbf{V}|\cos\theta,
V_y = |\mathbf{V}|\sin\theta.
Aqui V_x é a componente no eixo x e V_y no eixo y. Isso vem da definição de seno e cosseno num triângulo retângulo: a projeção do vetor sobre os eixos.

Passo 3

Vamos decompor cada vetor em componentes usando as fórmulas acima.
Para \mathbf{A} (módulo 5, ângulo 60^\circ):
A_x = 5\cos 60^\circ = 5\cdot\frac{1}{2} = \frac{5}{2},
A_y = 5\sin 60^\circ = 5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}.
Para \mathbf{B} (módulo 5, ângulo 180^\circ):
B_x = 5\cos 180^\circ = 5\cdot(-1) = -5,
B_y = 5\sin 180^\circ = 5\cdot 0 = 0.
Para \mathbf{C} (módulo 5, ângulo 300^\circ; observe que 300^\circ=360^\circ-60^\circ, então \cos300^\circ=\cos60^\circ e \sin300^\circ=-\sin60^\circ):
C_x = 5\cos 300^\circ = 5\cdot\frac{1}{2} = \frac{5}{2},
C_y = 5\sin 300^\circ = 5\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{5\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Agora calculamos as componentes do vetor pedido \mathbf{R}=\mathbf{A}-\mathbf{B}+\mathbf{C} compondo as componentes correspondentes:
R_x = A_x - B_x + C_x,
R_y = A_y - B_y + C_y.
Substituindo os valores que encontramos:
R_x = \frac{5}{2} - (-5) + \frac{5}{2},
R_y = \frac{5\sqrt{3}}{2} - 0 + \left(-\frac{5\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 5

Efetuando as contas em R_x e R_y:
Para R_x:
R_x = \frac{5}{2} + 5 + \frac{5}{2} = \left(\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\right)+5 = 5+5 = 10.
Para R_y:
R_y = \frac{5\sqrt{3}}{2} - \frac{5\sqrt{3}}{2} = 0.
Portanto o vetor resultante em componentes é
\mathbf{R} = \langle 10,\,0\rangle.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida: o resultado \langle 10,0\rangle significa um vetor de comprimento 10 apontando ao longo do eixo x positivo. Podemos verificar o módulo e a direção:
Módulo:
|\mathbf{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{10^2 + 0^2} = 10.
Direção (ângulo \theta_R com o eixo x):
\theta_R = 0^\circ \quad\text{(pois a componente }y\text{ é zero e }x>0).é
Tudo consistente: o lado y cancelou e o x somou para 10.

Resposta

\mathbf{A}-\mathbf{B}+\mathbf{C}=\langle 10,\,0\rangle (módulo 10, direção 0^\circ).

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