Um vetor \mathbf{L} orientado para o leste tem magnitude =6 unidades; outro vetor \mathbf{S} orientado para o sul tem magnitude =8 unidades. Determine:
\mathbf{L}+\mathbf{S};

Passo 1

O enunciado dá duas informações importantes e pede a soma delas. As informações são:
  • \mathbf{L} é um vetor orientado para o leste com magnitude \,6\, unidades.
  • \mathbf{S} é um vetor orientado para o sul com magnitude \,8\, unidades.
O que o exercício pede:
  • Determinar \mathbf{L}+\mathbf{S}.

Passo 2

Vamos escolher um sistema de coordenadas simples (isso facilita bastante): tomo o eixo x apontando para o leste e o eixo y apontando para o norte. Introduzo os vetores unitários
\mathbf{i} (para o leste, direção positiva de x) e \mathbf{j} (para o norte, direção positiva de y).
Agora escrevo cada vetor em termos de componentes:
  • Como \mathbf{L} aponta para o leste com magnitude 6, sua componente x é 6 e sua componente y é 0. Logo
\mathbf{L}=6\mathbf{i}.
  • Como \mathbf{S} aponta para o sul com magnitude 8, e o sul é a direção negativa de y, sua componente x é 0 e sua componente y é -8. Logo
\mathbf{S}=-8\mathbf{j}.
Expliquei isso porque componentes representam quanto do vetor “empurra” em x (leste/oeste) e quanto em y (norte/sul).

Passo 3

Regra para somar vetores em componentes (essa é a forma mais prática na prova): se
\mathbf{A}=A_x\mathbf{i}+A_y\mathbf{j} e \mathbf{B}=B_x\mathbf{i}+B_y\mathbf{j},
então
\mathbf{A}+\mathbf{B}=(A_x+B_x)\mathbf{i}+(A_y+B_y)\mathbf{j}.
Aqui A_x,A_y,B_x,B_y são as componentes em x e y de cada vetor.

Passo 4

Aplico a regra ao nosso caso:
\mathbf{L}+\mathbf{S}=6\mathbf{i}+(-8)\mathbf{j}=6\mathbf{i}-8\mathbf{j}.
Na forma de par ordenado de componentes isto é
\mathbf{L}+\mathbf{S}=(6,-8).

Passo 5

Agora calculo a magnitude (comprimento) do vetor resultante usando o Teorema de Pitágoras: se \mathbf{R}=(R_x,R_y) então
\|\mathbf{R}\|=\sqrt{R_x^{2}+R_y^{2}}.
Aqui R_x=6 e R_y=-8. Então
\|\mathbf{L}+\mathbf{S}\|=\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.
Expliquei: elevamos ao quadrado cada componente, somamos e extraímos a raiz quadrada.

Passo 6

Para achar a direção do vetor resultante em relação ao leste (ângulo medido a partir do eixo x positivo), usamos a tangente:
\tan\theta=\frac{|\text{componente }y|}{|\text{componente }x|}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.
Logo
\theta=\arctan\!\left(\frac{4}{3}\right)\approx 53,13^\circ.
Como a componente y é negativa (valor -8), o vetor está abaixo do eixo x, isto é, 53,13^\circ ao sul do leste (ou “abaixo” do leste).

Resposta

\mathbf{L}+\mathbf{S}=6\mathbf{i}-8\mathbf{j}
(6,-8)
magnitude =10 unidades; direção =53,13^\circ ao sul do leste

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