Três vetores (\mathbf{A}, \mathbf{B}) e \mathbf{C}, com 5 unidades cada um, estão respectivamente inclina operatorname{dos}: 60^{\circ}, 180^{\circ} e 300^{\circ}. Determine:
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B};

Passo 1

O enunciado dá três vetores de mesmo módulo e pede o produto escalar entre \mathbf{A} e \mathbf{B}. Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Módulos:}\quad |\mathbf{A}|=5,\quad |\mathbf{B}|=5,\quad |\mathbf{C}|=5.\\\ &\text{Direções (ângulos medidos a partir do eixo }x\text{, no sentido anti-horário):}\\\ &\quad \mathbf{A}\\ \text{com}\\ \theta_A=60^\circ,\\\ &\quad \mathbf{B}\\ \text{com}\\ \theta_B=180^\circ,\\\ &\quad \mathbf{C}\\ \text{com}\\ \theta_C=300^\circ. \end{aligned}óçõâá
A única coisa que precisamos calcular aqui é \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}.

Passo 2

Apresentando a ideia principal (fórmula do produto escalar):
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=|\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}|\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B}.
Explicação didática do porquê dessa fórmula (passo a passo, sem jargões):
  • Imagine projetar \mathbf{A} sobre a direção de \mathbf{B}. A componente de \mathbf{A} na direção de \mathbf{B} vale |\mathbf{A}|\cos\varphi.
  • Multiplicando essa projeção por o comprimento de \mathbf{B}, obtemos uma medida de “quanto \mathbf{A} e \mathbf{B} apontam na mesma direção” — exatamente o produto escalar.
  • Portanto, na prática usamos a fórmula acima. Aqui, |\mathbf{A}| e |\mathbf{B}| são os módulos (comprimentos) e \varphi é o ângulo entre eles.

Passo 3

Calcular o ângulo entre \mathbf{A} e \mathbf{B}. Como as direções são dadas pelos ângulos \theta_A e \theta_B, o ângulo entre eles é
\varphi = |\theta_B-\theta_A| = |180^\circ-60^\circ| = 120^\circ.
Obs.: estamos usando a diferença absoluta porque o ângulo entre vetores não depende do sentido do cálculo — só da separação angular.

Passo 4

Avaliar \cos\varphi para \varphi=120^\circ. Usamos identidade trigonométrica:
\cos 120^\circ = \cos(180^\circ-60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\tfrac{1}{2}.
Explicação curta: \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha; e \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do produto escalar com os valores encontrados:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=|\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}|\,\cos\varphi = 5\cdot 5\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right).
Agora simplificamos:
5\cdot 5 = 25,\qquad 25\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{25}{2}.

Passo 6

Verificação alternativa (método por componentes) — útil para fixar a técnica:
  • Componentes de \mathbf{A}:
A_x = 5\cos60^\circ = 5\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2},\qquad A_y = 5\sin60^\circ = 5\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{5\sqrt{3}}{2}.
  • Componentes de \mathbf{B}:
B_x = 5\cos180^\circ = 5\cdot(-1)=-5,\qquad B_y = 5\sin180^\circ = 0.
  • Produto escalar pelas componentes:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=A_xB_x + A_yB_y = \tfrac{5}{2}\cdot(-5) + \tfrac{5\sqrt{3}}{2}\cdot 0 = -\tfrac{25}{2},
que coincide com o resultado anterior. Boa prática: obter o mesmo resultado por duas vias confirma que está certo.

Resposta

-\dfrac{25}{2}

Exercícios relacionados