Três vetores (\mathbf{A}, \mathbf{B}) e
, com 5 unidades cada um, estão respectivamente inclina
e
. Determine:
;
Passo 1
O enunciado dá três vetores de mesmo módulo e pede o produto escalar entre
e
. Informações relevantes fornecidas:
A única coisa que precisamos calcular aqui é
.
Passo 2
Apresentando a ideia principal (fórmula do produto escalar):
onde
é o ângulo entre os vetores
e
.
Explicação didática do porquê dessa fórmula (passo a passo, sem jargões):
- Imagine projetar
sobre a direção de . A componente de na direção de vale . - Multiplicando essa projeção por o comprimento de
, obtemos uma medida de “quanto e apontam na mesma direção” — exatamente o produto escalar. - Portanto, na prática usamos a fórmula acima. Aqui,
e são os módulos (comprimentos) e é o ângulo entre eles.
Passo 3
Calcular o ângulo entre
e
. Como as direções são dadas pelos ângulos
e
, o ângulo entre eles é
Obs.: estamos usando a diferença absoluta porque o ângulo entre vetores não depende do sentido do cálculo — só da separação angular.
Passo 4
Avaliar
para
. Usamos identidade trigonométrica:
Explicação curta:
; e
.
Passo 5
Aplicar a fórmula do produto escalar com os valores encontrados:
Agora simplificamos:
Passo 6
Verificação alternativa (método por componentes) — útil para fixar a técnica:
- Componentes de
:
- Componentes de
:
- Produto escalar pelas componentes:
que coincide com o resultado anterior. Boa prática: obter o mesmo resultado por duas vias confirma que está certo.