Três vetores não coplanares
e
partem da mesma origem. Mostre que o plano que passa pelas extremidades dos vetores é perpendicular ao vetor
Passo 1
O enunciado dá três vetores não coplanares
,
e
com a mesma origem. Queremos mostrar que o plano que passa pelos pontos
,
e
é perpendicular ao vetor
Para isso, vamos encontrar um vetor normal ao plano
usando produto vetorial e mostrar que ele coincide com o dado.
Passo 2
No plano
escolhemos como vetores diretores
O vetor normal ao plano é dado por
Passo 3
Expandindo o produto vetorial por bilinearidade, temos
Usando
vec atimesvec a=0 ,
vec btimesvec a=-vec atimesvec b e
vec atimesvec c=-vec ctimesvec a , obtemos
Logo, o vetor
vec atimesvec b+vec btimesvec c+vec ctimesvec a é normal ao plano
ABC .
Resposta
O plano que passa pelas extremidades de
vec a ,
vec b e
vec c é perpendicular ao vetor