Três vetores não coplanares a, b e c partem da mesma origem. Mostre que o plano que passa pelas extremidades dos vetores é perpendicular ao vetor
a times b+b times c+c times a

Passo 1

O enunciado dá três vetores não coplanares vec a, vec b e vec c com a mesma origem. Queremos mostrar que o plano que passa pelos pontos A=vec a, B=vec b e C=vec c é perpendicular ao vetor
vec atimesvec b+vec btimesvec c+vec ctimesvec a
Para isso, vamos encontrar um vetor normal ao plano ABC usando produto vetorial e mostrar que ele coincide com o dado.

Passo 2

No plano ABC escolhemos como vetores diretores
AB = vec b - vec a, AC = vec c - vec a
O vetor normal ao plano é dado por
ABtimesAC = (vec b - vec a)times(vec c - vec a)

Passo 3

Expandindo o produto vetorial por bilinearidade, temos
(vec b - vec a)times(vec c - vec a) = vec btimesvec c - vec btimesvec a - vec atimesvec c + vec atimesvec a
Usando vec atimesvec a=0, vec btimesvec a=-vec atimesvec b e vec atimesvec c=-vec ctimesvec a, obtemos
ABtimesAC = vec btimesvec c + vec atimesvec b + vec ctimesvec a = vec atimesvec b + vec btimesvec c + vec ctimesvec a
Logo, o vetor vec atimesvec b+vec btimesvec c+vec ctimesvec a é normal ao plano ABC.

Resposta

O plano que passa pelas extremidades de vec a, vec b e vec c é perpendicular ao vetor
vec atimesvec b+vec btimesvec c+vec ctimesvec a

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