Se \vec{a}=3 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath} e \vec{b}=-2 \hat{\imath}+3 \hat{k}, qual é o vetor \vec{c}=\vec{a} \times \vec{b} ?

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a} e \vec{b} e pede o vetor \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}. Informações fornecidas:
\vec{a}=3\hat{\imath}-4\hat{\jmath}
\vec{b}=-2\hat{\imath}+3\hat{k}
Dados explícitos de componentes (observe que a componente ausente é zero):
a_x=3,\quad a_y=-4,\quad a_z=0
b_x=-2,\quad b_y=0,\quad b_z=3
O que se pede: calcular \vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}.

Passo 2

O que é o produto vetorial (cross product) e como vamos calcular: o produto vetorial de dois vetores tridimensionais (a_x,a_y,a_z) e (b_x,b_y,b_z) é um vetor perpendicular a ambos, com componentes dadas por
\vec{a}\times\vec{b}=\big(a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x\big).
Aqui cada símbolo significa:
  • a_x,a_y,a_z são as componentes de \vec{a} nas direções \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k};
  • b_x,b_y,b_z são as componentes de \vec{b};
  • o primeiro número no par ordenado é a componente na direção \hat{\imath}, o segundo em \hat{\jmath} e o terceiro em \hat{k}.
Outra forma prática é usar o determinante
\vec{a}\times\vec{b}= \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\ a_x & a_y & a_z \\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix},
que ao expandir dá exatamente a fórmula das componentes acima. Um exemplo simples para fixar a ideia: \hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k}.

Passo 3

Agora substituímos as componentes numéricas. Usando a fórmula componente a componente:
Componente na direção \hat{\imath}:
c_x = a_y b_z - a_z b_y = (-4)\cdot 3 - 0\cdot 0 = -12 - 0 = -12.
Componente na direção \hat{\jmath}:
c_y = a_z b_x - a_x b_z = 0\cdot(-2) - 3\cdot 3 = 0 - 9 = -9.
Componente na direção \hat{k}:
c_z = a_x b_y - a_y b_x = 3\cdot 0 - (-4)\cdot(-2) = 0 - 8 = -8.
Em cada linha eu calculei os produtos term a term e somei/subtrai para obter a componente.

Passo 4

Juntando as componentes obtemos o vetor resultado:
\vec{c} = c_x\hat{\imath} + c_y\hat{\jmath} + c_z\hat{k} = -12\hat{\imath} -9\hat{\jmath} -8\hat{k}.

Passo 5

Verificação rápida (importante para a prova): \vec{c} deve ser perpendicular a \vec{a} e a \vec{b}. Verificamos pelos produtos escalares:
\vec{a}\cdot\vec{c}=3(-12)+(-4)(-9)+0(-8)=-36+36+0=0,
\vec{b}\cdot\vec{c}=(-2)(-12)+0(-9)+3(-8)=24+0-24=0.
Ambos são zero, então \vec{c} é de fato ortogonal a \vec{a} e a \vec{b}, o que confirma que o cálculo está consistente.

Resposta

\vec{c}=-12\hat{\imath}-9\hat{\jmath}-8\hat{k}

Exercícios relacionados