Do triângulo A B C são dados: o vértice A(2,4), o ponto M(1,2) médio do lado A B e o ponto N(-1,1) médio do lado B C. Calcule o perímetro do triângulo A B C.

Passo 1

O problema pertence à geometria analítica: temos um triângulo ABC com A(2,4), o ponto médio M de AB em (1,2) e o ponto médio N de BC em (−1,1). Queremos encontrar o perímetro, o que vai exigir achar primeiro as coordenadas de B e C e depois calcular as distâncias entre A, B e C.

Passo 2

Para determinar B, usamos a fórmula do ponto médio: para M=(1,2) ser o ponto médio de A(2,4) e B(x_B,y_B) vale
M=l(xA+xB2,yA+yB2r)
Invertendo, temos
B=(2xM-xA,,2yM-yA)=(2cdot1-2,,2cdot2-4)=(0,0)

Passo 3

Para determinar C, aplicamos a mesma ideia em N=(−1,1) como ponto médio de B(0,0) e C(x_C,y_C):
N=l(xB+xC2,yB+yC2r)
Então
C=(2xN-xB,,2yN-yB)=(2cdot(-1)-0,,2cdot1-0)=(-2,2)

Passo 4

Agora calculamos as três distâncias usando a fórmula d(P,Q)=raiz(xQ-xP)^2+(yQ-yP)^2:
AB=raiz(0-2)^2+(0-4)^2=raiz4+16=2raiz5,
BC=raiz(-2-0)^2+(2-0)^2=raiz4+4=2raiz2,
AC=raiz(-2-2)^2+(2-4)^2=raiz16+4=2raiz5

Passo 5

O perímetro é a soma dessas distâncias:
P=AB+BC+AC=2raiz5+2raiz2+2raiz5=4raiz5+2raiz2

Resposta

4raiz5+2raiz2

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