Um triângulo equilátero de lado a tem um dos vértices na origem. Calcule o produto vetorial entre o vetor que aponta ao centro do triângulo e um vetor adjacente que define um dos lados. Que fração da área do triângulo tal produto representa.

Passo 1

Temos um triângulo equilátero de lado a com vértices
O=(0,0), A=(a,0), B=l(tfrac a2,tfracaraiz32r)
Queremos calcular o produto vetorial entre o vetor que vai da origem ao centroide e um vetor adjacente que define um dos lados (por exemplo OA), e depois comparar esse resultado com a área do triângulo.

Passo 2

O centroide G do triângulo tem coordenadas
G=O+A+B3 =l(tfrac0+a+tfrac a23,;tfrac0+0+tfracaraiz323r) =l(tfrac a2,;tfracaraiz36r)
Logo o vetor do vértice na origem até o centroide é
vec v=OG=l(tfrac a2,;tfracaraiz36r)

Passo 3

Escolhemos como vetor adjacente
vec w=OA=(a,0)
O produto vetorial em R^2 pode ser visto como o vetor em hat k de componente
vec vtimesvec w =l(vxwy - vywxr),hat k =l(tfrac a2cdot0 - tfracaraiz36cdot ar)hat k =-a^2raiz36,hat k
Em módulo,
llvert vec vtimesvec wrrvert =a^2raiz36

Passo 4

A área do triângulo equilátero de lado a é
Área=a^2raiz34 Á

Passo 5

A fração que o módulo do produto vetorial representa em relação à área do triângulo é
llvert vec vtimesvec wrrvertÁrea =tfraca^2raiz36tfraca^2raiz34 =1/61/4 =23 Á

Resposta

O produto vetorial é
vec vtimesvec w=-a^2raiz36,hat k (módulo a^2raiz3/6), ó
e isso corresponde a 23 da área do triângulo.

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