Usando a definição de derivada dada por:
d f(x)d x=lim De<a x 0 f(x+De<a x)-f(x)De<a x
Mostre que:
dd x 2 x=2

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
ddx(2x)=2
usando a definição de derivada
df(x)dx=limDe<a xto0f(x+De<a x)-f(x)De<a x,
O conteúdo aqui é o cálculo da derivada pelo limite do quociente incrementa­l.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=2x
O numerador do quociente incremental é
f(x+De<a x)-f(x)=2(x+De<a x)-2x

Passo 3

Desenvolvendo o produto e simplificando, obtemos
2(x+De<a x)-2x=2x+2De<a x-2x=2De<a x

Passo 4

Substituindo no quociente e simplificando (para De<a xneq0), vem
f(x+De<a x)-f(x)De<a x =2De<a xDe<a x=2

Passo 5

Agora basta tomar o limite quando De<a xto0. Como o resultado não depende de De<a x,
limDe<a xto02=2

Resposta

ddx(2x)=2

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